"""Exercices d’application du cours
1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de f(x) = arcsin tan(x).
2. Soit E un ensemble quelconque et f une fonction de E dans R. On d´efinit la relation R par
xRy () f(x) 6 f(y)
Montrer que R est une relation d’ordre si et seulement si f est injective.
3. Calculer un =
n Xk=1
sin k
2n
. D´eterminer un ´equivalent de un.
4. (MPSI4 seulement) D´eterminer la nature (convergente ou divergente) des s´eries suivantes :
Xn>0
pn
n2 + 1, Xn>0
n!
nn , Xn>2
ln n
n
5. Reconnaˆıtre la courbe d’´equation polaire =
1
2 + cos
.
6. On consid`ere dans l’espace les trois points A(0, 1, 0),B(1, 2, 0),C(−1, 1, 1). D´eterminer l’´equation du plan
(ABC).
7. On consid`ere dans le plan les deux points A(0, 1) et B(1, 0). Soit r1 la rotation de centre A et d’angle
2
et r2
la rotation de centre B et d’angle
4
. D´eterminer la nature et les ´el´ements g´eom´etriques de la transformation
r1 r2.
8. R´esoudre l’´equation diff´erentielle y00 + 4y0 + 4y = x + 1, avec les conditions initiales y(0) = y0(0) = 1.
9. D´eterminer les solutions de l’´equation z2 − (3 + 4i)z + 7i = 0, d’inconnue z 2 C.
10. Pr´eciser les coordonn´ees des sommets de l’ellipse dont les foyers sont F(0, 0) et F0(2, 0) et dont l’excentricit´e
est e =
1
2
.
11. Soient E un ensemble de cardinal 4 et F un ensemble de cardinal 3. On suppose que E \ F est de cardinal
2. Trouver le nombre de fonctions de E dans E [ F.
12. Soit (un) une suite de complexes telle que (un)2 et (un)3 convergent. Montrer que un converge.
13. (MPSI1 seulement) Montrer que
ln 3
ln 5
est irrationnel.
14. (MPSI1 seulement) D´eterminer la limite en 0 de t 7! (et + t)1/t.
15. Quels sont tous les complexes a 2 C tels que la fonction t 7! eat soit born´ee sur R ?
Probl`eme : La fonction de Weierstrass
L’objectif du probl`eme est de construire une fonction continue en tout point de R, mais d´erivable en aucun point.
Notations et d´efinitions :
• Une fonction f est k-lipschitzienne sur I si et seulement si 8x, y 2 I, |f(x) − f(y)| 6 |x − y|.
• Une fonction f est affine sur I si et seulement si il existe deux r´eels A et B tels que 8x 2 I, f(x) = Ax+B.
Le r´eel A est alors appel´e la pente de f sur l’intervalle I.
1. On d´efinit sur R la fonction g(x) = x − E x +
1
2 . Cette premi`ere question est d´evolue `a l’´etude de g.
(a) Montrer que g est 1-p´eriodique, continue sur R, et que g(1 − x) = g(x) pour tout x 2 R. Tracer g(x).
(b) V´erifier que g est 1-lipschitzienne sur R.
(c) On d´efinit gn(x) = g(2nx)
2n . Quelle transformation g´eom´etrique simple envoie le graphe de g sur celui
de gn ? Tracer g1 et g2 sur le mˆeme graphique que celui de g.
(d) Montrer que gn est 1-lipschitzienne. Montrer que pour tout k 2 Z, gn est affine sur k
2n+1 ,
k + 1
2n+1 .
Quelles valeurs peut prendre la pente ?
2. On pose fn(x) =
n Xk=0
gk(x).
(a) Soit x 2 R. Montrer que la suite (fn(x))n>0 est convergente. On note f(x) sa limite.
(b) Montrer que f(x) est 1-p´eriodique et que f(x) = f(1 − x).
(c) Montrer que |f(x) − fn(x)| 6
1
2n . En d´eduire que si |x − y| 6
1
2n , alors |f(x) − f(y)| 6 n + 3
2n .
(d) Prouver que f est uniform´ement continue sur R.
3. Dans cette question, on fixe x et on souhaite montrer que f n’est pas d´erivable en x. On d´efinit
an = E(2n+1x)
2n+1 et bn = E(2n+1x) + 1
2n+1 .
(a) Montrer que (an) et (bn) sont adjacentes. Quelle est leur limite commune ?
(b) V´erifier que f(an) = fn(an) et f(bn) = fn(bn).
(c) Justifier que fn(bn+1) − fn(an+1)
bn+1 − an+1
= fn(bn) − fn(an)
bn − an
.
(d) On pose n = f(bn) − f(an)
bn − an
. V´erifier que |n+1 − n| = 1.
(e) On suppose que un et vn sont deux suites tendant vers une mˆeme limite l, et n une suite quelconque
`a valeurs dans [0, 1]. Montrer que nun + (1 − n)vn ! l.
Cette question est ind´ependante des autres.
(f) On suppose que f est d´erivable en x. Montrer qu’alors n ! f0(x). Conclure.
4. On ´etablit une propri´et´e suppl´ementaire pour f.
(a) On fixe x = k
2n , puis xp = x +
1
2p . Montrer qu’il existe un rang P tel que p > P =) f(xp) > f(x).
(b) En d´eduire que f n’est monotone sur aucun intervalle.
Exercice compl´ementaire
On consid`ere n fonctions a0(t), . . . , an−1(t) continues sur [0, 1]. Soit Pt le polynˆome Pt(X) = Xn +
n−1 Xk=0
ak(t)Xk.
On admet que pour tout t 2 [0, 1], Pt ne peut admettre plus de n z´eros. On consid`ere une fonction (t) continue
sur ]0, 1], et telle que pour tout t, Pt((t)) = 0.
Montrer que (t) est born´ee, puis que (t) admet une limite lorsque t ! 0"""svp aider moi a faire ce ds,quelqu'n qui despose d'une correction,,,merci infinment...
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