Fonction
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Fonction



  1. #1
    inviteaec9b770

    Fonction


    ------

    """Exercices d’application du cours
    1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de f(x) = arcsin tan(x).
    2. Soit E un ensemble quelconque et f une fonction de E dans R. On d´efinit la relation R par
    xRy () f(x) 6 f(y)
    Montrer que R est une relation d’ordre si et seulement si f est injective.
    3. Calculer un =
    n Xk=1
    sin k
    2n
    . D´eterminer un ´equivalent de un.
    4. (MPSI4 seulement) D´eterminer la nature (convergente ou divergente) des s´eries suivantes :
    Xn>0
    pn
    n2 + 1, Xn>0
    n!
    nn , Xn>2
    ln n
    n
    5. Reconnaˆıtre la courbe d’´equation polaire  =
    1
    2 + cos 
    .
    6. On consid`ere dans l’espace les trois points A(0, 1, 0),B(1, 2, 0),C(−1, 1, 1). D´eterminer l’´equation du plan
    (ABC).
    7. On consid`ere dans le plan les deux points A(0, 1) et B(1, 0). Soit r1 la rotation de centre A et d’angle 
    2
    et r2
    la rotation de centre B et d’angle 
    4
    . D´eterminer la nature et les ´el´ements g´eom´etriques de la transformation
    r1  r2.
    8. R´esoudre l’´equation diff´erentielle y00 + 4y0 + 4y = x + 1, avec les conditions initiales y(0) = y0(0) = 1.
    9. D´eterminer les solutions de l’´equation z2 − (3 + 4i)z + 7i = 0, d’inconnue z 2 C.
    10. Pr´eciser les coordonn´ees des sommets de l’ellipse dont les foyers sont F(0, 0) et F0(2, 0) et dont l’excentricit´e
    est e =
    1
    2
    .
    11. Soient E un ensemble de cardinal 4 et F un ensemble de cardinal 3. On suppose que E \ F est de cardinal
    2. Trouver le nombre de fonctions de E dans E [ F.
    12. Soit (un) une suite de complexes telle que (un)2 et (un)3 convergent. Montrer que un converge.
    13. (MPSI1 seulement) Montrer que
    ln 3
    ln 5
    est irrationnel.
    14. (MPSI1 seulement) D´eterminer la limite en 0 de t 7! (et + t)1/t.
    15. Quels sont tous les complexes a 2 C tels que la fonction t 7! eat soit born´ee sur R ?
    Probl`eme : La fonction de Weierstrass
    L’objectif du probl`eme est de construire une fonction continue en tout point de R, mais d´erivable en aucun point.
    Notations et d´efinitions :
    • Une fonction f est k-lipschitzienne sur I si et seulement si 8x, y 2 I, |f(x) − f(y)| 6 |x − y|.
    • Une fonction f est affine sur I si et seulement si il existe deux r´eels A et B tels que 8x 2 I, f(x) = Ax+B.
    Le r´eel A est alors appel´e la pente de f sur l’intervalle I.
    1. On d´efinit sur R la fonction g(x) = x − E x +
    1
    2 . Cette premi`ere question est d´evolue `a l’´etude de g.
    (a) Montrer que g est 1-p´eriodique, continue sur R, et que g(1 − x) = g(x) pour tout x 2 R. Tracer g(x).
    (b) V´erifier que g est 1-lipschitzienne sur R.
    (c) On d´efinit gn(x) = g(2nx)
    2n . Quelle transformation g´eom´etrique simple envoie le graphe de g sur celui
    de gn ? Tracer g1 et g2 sur le mˆeme graphique que celui de g.
    (d) Montrer que gn est 1-lipschitzienne. Montrer que pour tout k 2 Z, gn est affine sur  k
    2n+1 ,
    k + 1
    2n+1 .
    Quelles valeurs peut prendre la pente ?
    2. On pose fn(x) =
    n Xk=0
    gk(x).
    (a) Soit x 2 R. Montrer que la suite (fn(x))n>0 est convergente. On note f(x) sa limite.
    (b) Montrer que f(x) est 1-p´eriodique et que f(x) = f(1 − x).
    (c) Montrer que |f(x) − fn(x)| 6
    1
    2n . En d´eduire que si |x − y| 6
    1
    2n , alors |f(x) − f(y)| 6 n + 3
    2n .
    (d) Prouver que f est uniform´ement continue sur R.
    3. Dans cette question, on fixe x et on souhaite montrer que f n’est pas d´erivable en x. On d´efinit
    an = E(2n+1x)
    2n+1 et bn = E(2n+1x) + 1
    2n+1 .
    (a) Montrer que (an) et (bn) sont adjacentes. Quelle est leur limite commune ?
    (b) V´erifier que f(an) = fn(an) et f(bn) = fn(bn).
    (c) Justifier que fn(bn+1) − fn(an+1)
    bn+1 − an+1
    = fn(bn) − fn(an)
    bn − an
    .
    (d) On pose n = f(bn) − f(an)
    bn − an
    . V´erifier que |n+1 − n| = 1.
    (e) On suppose que un et vn sont deux suites tendant vers une mˆeme limite l, et n une suite quelconque
    `a valeurs dans [0, 1]. Montrer que nun + (1 − n)vn ! l.
    Cette question est ind´ependante des autres.
    (f) On suppose que f est d´erivable en x. Montrer qu’alors n ! f0(x). Conclure.
    4. On ´etablit une propri´et´e suppl´ementaire pour f.
    (a) On fixe x = k
    2n , puis xp = x +
    1
    2p . Montrer qu’il existe un rang P tel que p > P =) f(xp) > f(x).
    (b) En d´eduire que f n’est monotone sur aucun intervalle.
    Exercice compl´ementaire
    On consid`ere n fonctions a0(t), . . . , an−1(t) continues sur [0, 1]. Soit Pt le polynˆome Pt(X) = Xn +
    n−1 Xk=0
    ak(t)Xk.
    On admet que pour tout t 2 [0, 1], Pt ne peut admettre plus de n z´eros. On consid`ere une fonction (t) continue
    sur ]0, 1], et telle que pour tout t, Pt((t)) = 0.
    Montrer que (t) est born´ee, puis que (t) admet une limite lorsque t ! 0"""svp aider moi a faire ce ds,quelqu'n qui despose d'une correction,,,merci infinment...

    -----

  2. #2
    Cendres
    Modérateur

    Re : Fonction

    Bonjour,

    1°) Conformément à la charte du forum (point 2), "Bonjour" et "merci" existent en français
    :
    2. La courtoisie est de rigueur sur ce forum : pour une demande de renseignements bonjour et merci devraient être des automatismes. Vous pouvez critiquer les idées, mais pas les personnes.
    2°) Qu'est-ce que ce pavé mal écrit?
    Est-ce une demande d'aide? Si oui, avez-vous cherché un minimum, et exposez-vous vos pistes de recherche? Parce de la façon dont c'est rédigé, ça n'est pas clair...

    Personne ne fera le devoir à votre place. Merci donc de corriger le tir, faute de quoi cette discussion pourrait bien être fermée.

    Cordialement,

    Pour la modération,
    Cendres
    N'a de convictions que celui qui n'a rien approfondi (Cioran)

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