équation différentielle de Cauchy

[Shadowlugia]

Bonjour,

J'ai un dm de maths plutôt urgent portant sur les équations différentielles, domaine dans lequel, je dois bien l'avouer, je ne suis pas excellent. le DM porte sur les équations différentielles de Cauchy, et commence ainsi

Soit (E) : x²y" + xy' - y = 0

1) Montrer qu'il existe une unique solution de la forme x --> x^r sur R (il n'y a aucune précision sur r, mais je pense que c'est un réel)

2) I représente ]- l'infini ; 0[ ou ]0 , + l'infini[. on pose, sur I, y(x) = (x^r)*z(x). Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z' est solution d'une équa diff de premier ordre (E') que l'on précisera et résoudra.
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pour le 1), j'ai un peu du mal à comprendre la question : ce qui est unique, c'est la forme de la solution (polynômiale), ou bien le r qui est unique ? je ne pense pas que ce soit r qui soit unique, parce que x^r est solution pour r=1 et pour r=-1. le fait est que si x^r est bien solution pour ces deux valeurs de r, je n'arrive pas à prouver qu'elle est unique.

ensuite le 2), j'ai dérivé y puis y'.
on trouve y'(x) = rx^(r-1)*z(x) + z'(x)*x^r
et y"(x) = r[z(x)(r-1)x^(r-2)+z'(x)rx^(r-1)] + (z'(x)*rx^(r-1) + z"(x)*x^r).
et j'ai procédé par équivalence
y est solution de (E)
<=> x²y" + xy' - y =0 en remplaçant ensuite les y et compagnie par leurs expression avec z, z' et z" etc. etc.
problème, je n'arrive pas à me débarrasser des z (ce qui me permettrait d'aboutir à la fameuse (E')). j'ai essayé plusiseurs factorisations mais aucune ne marche).

Bref, I need help. si une âme charitable pouvait me tirer des griffes de Cauchy...

Merci bien ^^ !
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[Armen92]

1) Il y a bien deux solutions r=+1 et r=-1. L'énoncé ne précise-t-il pas une condition aux limites (par exemple : on cherche les solutions régulières en x=0 )?
A défaut, les deux valeurs de r sont acceptables.
2) Avec ces valeurs de r, on obtient par construction une équation où ne figurent plus que z' et z'', qui est bien du 1er ordre en z'.

[Shadowlugia]

en fait, pour la 2), après quelques factorisations, le meilleur résultat auquel j'arrive est (x^r)*[(r²-1)z + (2r + 1)xz' + x²z"] = 0. à votre avis, puis-je supprimer le (r²-1)z sous prétexte qu'on a supposé que x^r était solution seulement si r=1 ou r=-1, qui sont racines r²-1. Si on peut procéder comme ceci, on obtient alors :
(x^r)*[(2r + 1)xz' + x²z"] = 0.
<=>(x^r+1)*(2r+1)*z' + (x^r+2)*z" = 0
<=> z" + (x/2r+1)z' = 0. (E') qui est du premier ordre en z'

Une primitive de x/2r+1 étant x²/4r+2, on obtient alors que
S (E') = {x --> A exp (-x²/4r+2) ; A réel}.

Nous avons donc z'(x) = A exp (-x²/4r+2) et donc
z(x) = -[ A(4r+2)/2x] exp (-x²/4r+2) et y(x) = (x^r)*z(x)

je doute que ce soit juste, qu'en pensez vous ?

[God's Breath]

Soit (E) : x²y" + xy' - y = 0

1) Montrer qu'il existe une unique solution de la forme x --> x^r sur R

L'unique solution de la forme x --> x^r sur R est obtenue pour r=1.
Tu fais donc la question suivante en posant y(x)=xz(x), c'est-à-dire que tu remplaces r par 1 dans tous tes calculs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Armen92]

en fait, pour la 2), après quelques factorisations, le meilleur résultat auquel j'arrive est (x^r)*[(r²-1)z + (2r + 1)xz' + x²z"] = 0. à votre avis, puis-je supprimer le (r²-1)z sous prétexte qu'on a supposé que x^r était solution seulement si r=1 ou r=-1, qui sont racines r²-1.

Mais oui, c'est justement pour cela que l'on choisit .
Admettant l'équation pour z' que vous citez (je n'ai pas vérifié), elle se récrit :

sa solution est :

d'où z=...

[Shadowlugia]

j'ai refait les calculs en fiat l'équation que j'ai trouvé est fausse (ce n'est pas x/2r+1 mais 2r+1/x)

pour God's Breath : tu penses que le sur R désigne en fait le domaine de définition de x^r ? dans ce cas vu que x^-1 = 1/x n'est pas définie sur R, la seule solution vérifiant la condition serait x, c'est ce que tu veux dire ? effectivement cela simplifierait énormément les calculs...mais pour la deuxième question, étant donné qu'on se place maintenant indifféremment sur ]- inf. ; 0[ ou sur ]0 ; + inf[, la fonction x^(-1) = 1/x est donc valable donc on ne peut attribuer une valeur unique à r, non ?

[God's Breath]

pour God's Breath : tu penses que le sur R désigne en fait le domaine de définition de x^r ? dans ce cas vu que x^-1 = 1/x n'est pas définie sur R, la seule solution vérifiant la condition serait x, c'est ce que tu veux dire ?

Dire que f est solution sur l'intervalle I d'une équation différentielle signifie que, pour tout x élément de I, les valeurs f(x) et des dérivées successives f'(x), f''(x),... satisfont la relation donnée par l'équation différentielle, ce qui impose que f soit définie et suffisamment dérivable sur I ; ici, l'intervalle I est R tout entier, et x^(-1) n'est pas solution sur cet intervalle puisque non partout définie...

pour la deuxième question, étant donné qu'on se place maintenant indifféremment sur ]- inf. ; 0[ ou sur ]0 ; + inf[, la fonction x^(-1) = 1/x est donc valable donc on ne peut attribuer une valeur unique à r, non ?

Attention, on connaît la solution y=x sur R, et l'on veut poser y(x)=xz(x) pour déterminer les autres solutions.
Ceci revient à introduire une nouvelle fonction z définie par z(x)=y(x)/x, ce qui nécessite de travailler avec x non nul. C'est pourquoi on est obligé de se placer sur l'un des intervalles ]-∞,0[ou ]0,+∞[.

Quant aux calculs pour établir l'équation E', je ne les ai pas vérifiés, mais en les refaisant à partir de la relation y(x)=xz(x), tu dois pouvoir facilement trouver E'.

[Shadowlugia]

effectivement, tout va beaucoup mieux sauf une chose, pour résoudre E', il me faut une primitive de 1/x^3 et je n'arrive pas à la trouver pouvez-vous m'aider ?

[God's Breath]

Une primitive de est sauf pour .

[Armen92]

..... sauf une chose, pour résoudre E', il me faut une primitive de 1/x^3 et je n'arrive pas à la trouver pouvez-vous m'aider ?

Ca, ça fait partie des primitives élémentaires à connaître impérativement...

[Shadowlugia]

effectivement, d'ailleurs, en rejetant un oeil à mes exercices de terminale, je me suis peçu que je l'avais fait des dizaines de fois...j'ai perdu le réflexe, il faut croire...

[Shadowlugia]

j'ai un autre problème (décidément !) en fait, j'ai réussi à résoudre l'équation sur ]-inf,0[ ]0, +inf[, ce qui donne :

S ]0 , + inf[ = {x--> - A/2x ; A réel}
S ]- inf , 0[ = {x--> A/2x ; A réel}

on me demande ensuite de résoudre (E) sur R. il me semble qu'il faut faire un recollement dans ces cas-là, le problème c'est que je ne maîtrise pas le recollement et qu'on ne s'y est pas tellement entraîné en classe alors si quelqu'un pouvait m'expliquer comment faire ici...

[Armen92]

Si je vous lis bien, votre solution est ; ceci ne me semble pas correct car il n'y a nulle part dans l'équation une distribution de Dirac propre à engendrer une discontinuité de la dérivée

[Shadowlugia]

j'aurais donc fait une erreur en résolvant (E) sur les deux intervalles ? je veux bien te croire...je vais vérifier, mais d'apès les indications de God's Breath, c'est à ç_a que je dois aboutir...

[God's Breath]

Effectivement, tu résous E' sur chacun des intervalles ]-∞,0[ et ]0,+\infty[.
La solution z' dépend d'une constante A et, lorsque tu primitives pour calculer z, il doit intervenir une nouvelle constante B. Puis tu multiplies par x pour obtenir y.

Ensuite il faut prendre une solution y1 sur ]-∞,0[ et une solution y2 sur ]0,+\infty[, et voir s'il existe une fonction y deux fois dérivable sur IR, dont la restriction à ]-∞,0[ est y1, et la restrictio à ]0,+\infty[ est y2, afin d'opérer un éventuel recollement en 0.