Approximations de ln(2) et ln(3)

[mehdi_128]

D'accord. C'est bien une égalité. Je prends plus de temps qu'en épreuve car je veux comprendre en profondeur le sens des questions.

La question XXIV j'ai fait :

1/

Pour calculer une valeur approchée de il faut prendre
Pour calculer une valeur approchée de il faut prendre

2/ Pour il faut trouver un entier vérifiant :
Je trouve :
Pour il faut trouver un entier vérifiant :
Je trouve :

3/ J'ai du mal à répondre à cette question. Je dois comparer cette méthode d'approximation avec celle de la question XXI

Je dirais qu'elle est plus précise car on reste à une précision de alors que l'autre méthode la précision baissait à et

Mais y a-t-il d'autres points à mentionner ?
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[invite51d17075]

Mais y a-t-il d'autres points à mentionner ?

bien sur, c'est surtout le fait que le nb d'itérations ( que je n'ai pas vérifié ) est inférieur avec la seconde méthode, pour une précision équivalente.

[invite51d17075]

ps : ce n'est pas 11 pour ln(3) par exemple, au lieu de 16 avec la première méthode

[mehdi_128]

Ansset la précision n'est pas équivalente, on perd en précision dans la première méthode j'ai du et du ...

[invite51d17075]

j'aurai du dire "du même ordre".
mais je ré-itère, cette seconde approche amène surtout a faire moins d'itérations.
à titre d'exemple :
dans le premier cas , il fallait 16 itérations pour ln(3). ( première méthode )
supposons que l'on fasse 16 itérations avec la seconde méthode.
on aura une précision bien bien meilleure.

[invite51d17075]

Dit autrement la seconde série construite converge plus vite que la première.
Et c'est cela qui est important.
Au même titre qu'il y a n manière d'estimer pi avec des séries.
Mais elle ne sont pas toutes aussi "performantes" les unes que les autres.

[mehdi_128]

Ah d'accord merci. Dernière question.

On se propose de calculer des valeurs approchées de pour tout nombre entier .

1/ Expliquer pourquoi il suffit de calculer les valeurs de pour premier.

2/ Décrire une méthode pour calculer des valeurs approchées de pour tout entier tel que

Pour la 1, bah en utilisant que tout nombre entier non nul admet une décomposition en facteurs premiers qui est unique. Puis utiliser

La 2 je vois pas trop ce qui est attendu.

[invite51d17075]

tu réponds directement à la une avec ton commentaire sur la 2/
p n'est pas décomposable , donc on peut pas utiliser des estimations de ln(q) avec q diviseur de p.
( enfin c'est comme cela que je comprend la question )
pour la 2:
en allant en n croissant.
s'inspirer de la remarque 1/ ou décomposer en facteur premiers.
ex :
-7 est premier , on cherche x tel (1+x)/(1-x)=7 ; x=3/4
et on applique la méthode (2) plus précise que la première.
- pour un nb non premier, on le décompose en facteurs premiers et son log s'en déduit des calculs déjà effectués.

ps: attention , si on veux par exemple une précision <= 10^(-a)
il faut tenir compte de la combinaison linéaire

[mehdi_128]

Ah d'accord merci Ansset super clair !