Caractères de Dirichlet et primitivité

[breukin]

Les caractères de Dirichlet modulo k sont les fonctions à valeur complexe sur les entiers strictement positifs, non nulles, totalement multiplicatives et périodiques de période k.
Une telle définition est-elle correcte ? Doit-on préciser que la période est minimale ? (Sinon, cela signifierait qu'un caractère modulo k est aussi un caractère modulo n.k ; en particulier, la fonction constante 1 serait un caractère modulo n pour tout n)
Mais qu'est-ce qui définit la nature primitive ou non-primitive d'un caractère modulo k ?
Je souhaiterais une réponse "en français" qui explique la propriété dans la pratique plutôt qu'une réponse qui ne fait que reporter le problème, du genre "son conducteur vaut k".
Une illustration avec un exemple pour un k particulier avec un caractère primitif et un non primitif serait la bienvenue.
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[invite4793db90]

Salut,

la période k, c'est par définition le plus petit entier telle que ...

Sinon, on peut aussi voir la chose ainsi : un caractère modulo n est primitif s'il n'existe pas de diviseur d non trivial de n tel que se déduise de la composition de morphismes


Exemples modulo 4 : est primitif tandis que ne l'est pas ( se déduit du caractère non trivial sur ).

Cordialement.

[breukin]

Attention : tes fonctions ne sont pas des caractères de Dirichlet modulo k, elles ne sont pas multiplicatives :
χ_k(m.n)≠χ_k(m).χ_k(n)
D'ailleurs, des propriétés essentielles sont χ_k(1)=1 et χ_k(n)=0 si n et k sont premiers entre eux.

[invite4793db90]

Désolé, j'étais sur le mode additif...

Il fallait donc lire : un caractère modulo n est primitif s'il n'existe pas de diviseur d non trivial de n tel que se déduise de la composition de morphismes

χk(n)=0 si n et k sont premiers entre eux.

C'est l'inverse.

Exemple donc : modulo 12 soient et les caractères tels que
et
.

est primitif et pas (qui se déduit de qui vaut 1 en 1 et -1 en -1 modulo 6).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Oui, faute de frappe pour l'égalité à la place de l'inégalité.

Mais ta première fonction, telle que :
χ(1)=1
χ(5)=–1
χ(7)=1
χ(11)=–1
et 0 pour 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 et 12 est périodique de période 6 !
Si la définition d'une période dit qu'elle est par essence minimale, alors cette fonction n'est pas un caractère de Dirichlet modulo 12 mais modulo 6.

Pour revenir à la fonction constante 1, qui est un caractère de Dirichlet modulo 1 primitif, est-ce que ça a un intérêt de considérer que c'est aussi un caractère de Dirichlet modulo n>1 mais non primitif ?

Peut-on exhiber un caractère avec une "vraie" période au sens strict qui serait quand même non primitif et c'est alors quoi le critère de primitivité ?

On comprends mieux le pourquoi de ma question sur la définition de la primitivité versus ce qu'on doit considérer comme étant une période.

[invite4793db90]

Si la définition d'une période dit qu'elle est par essence minimale, alors cette fonction n'est pas un caractère de Dirichlet modulo 12 mais modulo 6.

Ok je comprends mieux ton souci. En fait on définit les caractères de Dirichlet selon un certain modulo et on récupère les caractères imprimitifs (de plus petite période) des diviseurs. D'où l'intérêt de distinguer les caractères primitifs, i.e. ceux qui ne sont pas hérités d'un diviseur. En fait ta définition du message #1 ne tient pas : tu ne définis que les caractères primitifs. En particulier le caractère trivial (=1 partout) est un caractère modulo n'importe quel entier.

Je crois que la meilleure façon de voir un caractère de Dirichlet modulo n est de le considérer comme un morphisme .

Cordialement.

[breukin]

En particulier le caractère trivial (=1 partout) est un caractère modulo n'importe quel entier.

Sauf que dans ce cas, n'est plus respectée la propriété des caractères modulo k (ici >1 : n'importe quel entier) selon laquelle χ_k(n)=0 si n et k ne sont pas premiers entre eux (par exemple avec k=4 et n=2). Donc le "caractère" trivial n'en est pas un selon la définition que l'on peut trouver par exemple sur http://mathworld.wolfram.com/NumberT...Character.html, qui dit (en renumérotant) :
1) totalement multiplicative
2) k est UNE période
3) vaut 1 en 1
4) vaut 0 si pas premier avec k
Je pense sincèrement que ce n'est pas la meilleure façon de voir les choses.
Je préfère dire, car je trouve que c'est plus esthétique du point de vue mathématique, puisque sans aucune définition de valeur prise pour certains cas particuliers :
0) non nulle
1) totalement multiplicative
2) k est LA période
et alors 3) et 4) se démontrent.
Certes, on réduit d'emblée aux caractères primitifs, mais est-ce grave, car quel est l'intérêt des caractères imprimitifs ?

[invite4793db90]

Salut,

Donc le "caractère" trivial n'en est pas un selon la définition que l'on peut trouver par exemple sur http://mathworld.wolfram.com/NumberT...Character.html, qui dit (en renumérotant) :

Ok, ce n'est pas un caractère de Dirichlet. Mais c'est néanmoins un caractère : celui de la représentation de degré 1, , qui à n associe 1 (représentation unité).

Certes, on réduit d'emblée aux caractères primitifs, mais est-ce grave, car quel est l'intérêt des caractères imprimitifs ?

Ben le problème, c'est précisément qu'il y a des caractères qui ne sont pas primitifs... Sinon tout irait bien et on aurait des belles équations fonctionnelles pour les même quand n'est pas primitif...

Pour ce qui est de la meilleure vision, chacun sa cuisine : je ne sais pas dans quel contexte tu travailles avec les caractères.

Cordialement.

[breukin]

Je n'ai pas l'impression que les belles équations pour L(χ,s) soient liées à la nature primitive du caractère.
En effet, pour k=6, les deux caractères primitifs (et réels) sont {1,0,0,0,1,0} et {1,0,0,0,–1,0}. Pourtant ni l'un ni l'autre ne vérifie une équation fonctionnelle simple liant L(χ,s) et L(χ,1–s), via un cos(πs/2) ou un sin(πs/2). Il n'y a pas de fonction L₊₆ ou L_–6.

[invite4793db90]

Salut,

Je n'ai pas l'impression que les belles équations pour L(χ,s) soient liées à la nature primitive du caractère.

je n'invente rien :

« The functional equation only works well for primitive characters. »

Automorphic forms and representations, D. Bump, p.4.

Il n'y a pas de fonction L₊₆ ou L_–6.

Et pourtant un peu plus loin (p.10) :

« Theorem 1.1.1 Let be a primitive Dirichlet character with conductor , and let or be chosen so that . Let

Then has meromorphic continuation to all ; (...) We have the functional equation

»

ibid.

Cordialement.

PS : rien à voir, mais un bonjour n'a jamais fait de mal...

[breukin]

Bonjour,

il n'en reste pas moins que je n'arrive pas à faire la colle avec :
http://mathworld.wolfram.com/DirichletL-Series.html
où il est dit (entre les formules 13 et 14) :
- la nature primitive d'une série-L de Dirichlet modulo k est liée à la nature primitive de son caractère de Dirichlet modulo k : χ_k.
- il n'y a pas de serie-L primitive réelle dans certains cas, comme par exemple k=6 (point 3).

Or les deux caractères de Dirichlet modulo 6 {1,0,0,0,1,0} (le principal) et {1,0,0,0,–1,0} me paraissent bien primitifs (et réels), car je n'y vois aucune sous-période 1, 2 ou 3 (les diviseurs de 6).

Je n'arrive pas à voir où je fais mon erreur.

Cordialement.

[breukin]

Complément : par comparaison, pour k=8, on a quatre caractères de Dirichlet modulo 8 :
{1,0,1,0,1,0,1,0} (le principal, non primitif : période 2)
{1,0,–1,0,1,0,–1,0} (non primitif : période 4)
{1,0,–1,0,–1,0,1,0} (primitif : L₊₈)
{1,0,1,0,–1,0,–1,0} (primitif : L_–8)

[invite4793db90]

Salut,

après cogitation et révisions (merci ), je pense pouvoir te répondre complètement.

Or les deux caractères de Dirichlet modulo 6 {1,0,0,0,1,0} (le principal) et {1,0,0,0,–1,0} me paraissent bien primitifs (et réels), car je n'y vois aucune sous-période 1, 2 ou 3 (les diviseurs de 6).

La primitivité d'un caractère n'est pas en rapport avec l'existence de sous-période : tes caractère modulo 6 ne sont pas primitifs.

Je reviens aux définitions en paraphrasant Bump : un caractère de Dirichlet est une application qui s'obtient en partant d'un caractère du groupe abélien , en l'étendant à en envoyant les classes non premières à n sur 0, et finalement en composant avec la projection .

Je résume la construction ainsi :

où la dernière flèche est obtenue à partir de celle du dessous.

Soit maintenant d un diviseur de n : on dispose des application canoniques et . Si on a un caractère modulo d, on peut prendre le caractère correspondant défini sur , le "tirer en arrière" (pull-back) sur et obtenir ainsi un caractère modulo n. Si un caractère est obtenu par ce procédé, alors il n'est pas primitif ; sinon, il est primitif.

Pour résumer si on a :

alors le caractère n'est pas primitif.

_____________

Revenons maintenant aux caractère modulo 6 : on a trivialement . Donc aucun caractère modulo 6 n'est primitif. Pour délayer un peu, on a un morphisme de groupes multiplicatifs qui a une classe modulo 6 associe sa classe modulo 3 : en particulier, -1 est envoyé sur -1.

Pour voir comment les caractères modulo 6 héritent des caractères modulo 3, il suffit de dresser un tableau des images des classes par ces caractères :



Enfin, de manière générale, on peut démontrer que si p est premier et donc qu'il n'existe pas de caractère primitif modulo 2p (comme indiqué dans matworld).

En espérant t'avoir éclairé.

Cordialement.

[invite4793db90]

La primitivité d'un caractère n'est pas en rapport avec l'existence de sous-période : tes caractère modulo 6 ne sont pas primitifs.

Plus précisément, la périodicité n'est pas une condition suffisante pour que le caractère ne soit pas primitif.

Exercice : il y a quatre caractères réels modulo 12 dont deux sont périodiques ; néanmoins un seul est primitif (cf. mathworld). Lequel ?

Cordialement.

PS : réponse au prochain message.

[invite4793db90]

(Surligner pour voir)

On a .

Soit un caractère réel modulo 12 : , , , où et sont des racines carrées de l'unité (donc ).

Si , on obtient le caractère principal (non primitif).

Si , on obtient un caractère périodique modulo 6 donc non primitif (1,0,0,0,-1,0,1,0,0,0-1,0) : ici la projection est trivial.

Si et , alors on peut construire un morphisme en envoyant 1 et 5 sur et -1 et -5 sur . Le caractère (1, 0, 0, 0, 1, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0) n'est donc pas primitif.
On pourrait d'ailleurs le compléter en pour retrouver la périodicité modulo 4 : (1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0).

Le seul caractère réel primitif est donc (1, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 1, 0).

Cordialement.

[invite4793db90]

Plus précisément, la périodicité n'est pas une condition suffisante pour que le caractère ne soit pas primitif.

Il fallait lire nécessaire, of course !

[breukin]

Merci beaucoup pour toutes ces précisions, je comprends mieux désormais mes erreurs d'interprétation de la primitivité.
Et donc si j'ai bien compris, le caractère principal n'est jamais primitif (sauf si k=1) ?
Cordialement

[invite4793db90]

Salut,

oui c'est ça. Mais j'aurais dit sauf si k=2 plutôt que k=1.

Cordialement.

[breukin]

Bonjour,

il me semble que c'est bien sauf si k=1 !

Si k=1, le caractère principal est {1}, qui conduit à L₊₁(s) = ζ(s). Il est donc primitif.

Si k=2, le caractère principal est {1,0}, qui conduit à λ(s) = (1–2^–s)ζ(s). Il n'est donc pas primitif.

Cordialement.

[invite4793db90]

Salut,

vu comme ça, tu as tout à fait raison ! J'hésitais car je me demandais ce que pouvait être ...

Bien cordialement.