Ces coordonnées peuvent aussi être élégamment décrites en termes de quaternions : tout quaternion unité peut être écrit comme un verseur : , où est un quaternion imaginaire (de partie réelle nulle) et unitaire (c'est-à-dire un quaternion vérifiant ) ; ceci est l'analogue pour les quaternions de la formule d'Euler.
L'ensemble des quaternions unitaires imaginaires formant la 2-sphère unité de , on peut écrire tous les t précédents
:.
Sous cette forme, le quaternion unitaire q est donné par : , où les xi correspondent aux formules données plus haut. Quand on utilise q pour décrire des rotations dans l'espace (voir quaternions et rotation dans l'espace), il correspond alors à une rotation d'angle 2ψ autour de t.
Comme pour la sphère ordinaire, l'ensemble des points où une seule des coordonnées hypersphériques varie est un cercle ; on parle respectivement de cercle parallèle, de cercle méridien et de cercle hyperméridien si la coordonnée variable est φ, θ ou ψ.