Bonjour,
Ceci est une discussion pour animer un débat sur les spineurs et tenseurs.
Faites un choix de vote et justifiez si possible votre réponse.
1- Les spineurs sont un cas particulier de tenseur.
2- Les spineurs sont la généralisation des tenseurs.
3- Spineurs et tenseurs sont au même niveau. Ce sont des "cousins".
4- Il n' y a aucun rapport.
5- La question est mal posée et ambigüe.
Bonjour,
Wiki anglais sur les spineurs:
Pour moi cela répond sur la relation entre tenseurs et spineurs.one knows a priori that there are some representations of the Lie algebra of the orthogonal group which cannot be formed by the usual tensor constructions. These missing representations are then labeled the spin representations, and their constituents spinors
Cordialement,
Bonjour, je ne vais pas prendre part au vote mais je suis très surpris de voir que l'on peut ouvrir un sondage pour des objets mathématiques qui devraient en principe avoir des propriétés définies sans ambiguité permettant de les classer respectivement dans tel ou tel famille. Donc soit il y a ambiguité sur la perception de ces objets dans la tête des physiciens, soit la question porte sur autre chose que le côté purement mathématique, et alors elle est mal posée. C'est ce que je vais répondre, finalement, et c'est heureux, car je n'aurais pas les connaissances requises pour me prononcer s'il en était autrement.
Bonjour,Envoyé par Michel (mmy)
Cette phrase est particulièrement intéressante dans la perspective de la discussion et montre toute les ambiguités du langage qui règne autour de la notion de spineur.
Selon cette définition seules les representations de dimensions paires de SO(3) sont engendrés par des spineurs. Et pourtant tous les livres de MQ sans aucune exception parle des spins S avec S= 1/2, 1, 3/2 , 2 etc... qui engendrent des representations de dimension 2.S + 1
Par ailleurs un spin S=1 c'est également un tenseur de rang 1
par ailleurs que signifie construction usuelle des tenseurs? Lesquelles sont inusuelles?
En fait ta réaction est justement en rapport avec mes propres motivations.
Dans un cours sur les tenseurs il n'y a aucune notion de spineurs. La notion de tenseur est introduite dans des cours de mathématiques et ceux-ci ont leurs domaines d'application en physique. Ce qui ne pose pas trop de problèmes dans la mesure ou mathématiques et physique sont articulées.
A contrario la notion de spin est usuellement introduite uniquement en physique et même seulement en MQ. L'aspect mathématique n'est jamais présentée aux physiciens. Résultats de tout cela les tenseurs et les spineurs apparaissent pour les physiciens comme 2 mondes en grande partie étranger. Il manque donc dans l'enseignement en direction des physiciens la contrepartie mathématique qui permettrait d'établir le lien entre spineurs et tenseurs.
Le tenseur est un vecteur au sens général du terme (élément d'un espace vectoriel) me semble t-il. En est-il de même pour le spineur ?
Auquel cas ils feraient partie du même catégorie celle des espaces vectoriels.
Patrick
J'ai répondu 3) mais après réflexion ça peut tout aussi bien être la 1) avec une argumentation assez similaire à celle de ù100fil.
Oui, ce sont des représentations linéaires!
Comme R par exemple, qui est un espace vectoriel sur R : un réel est donc un vecteur. Comme les polynômes à coefficients dans Q, qui forment un espace vectoriel sur Q : x²+1/2 est donc un vecteur. Comme un octet en binaire, élément de l'espace vectoriel (Z/2Z)8 : 01101110 est donc un vecteur.Auquel cas ils feraient partie du même catégorie celle des espaces vectoriels.
Faut-il continuer?
Un espace vectoriel est une structure. Elle n'interdit en rien des structures plus riches. Un tenseur est un vecteur au même sens qu'un humain est un mammifère, par exemple : c'est correct, mais "vecteur" ("mammifère") ne capture pas toutes les propriétés couvertes par le mot "tenseur" ("humain").
Cordialement,
Dernière modification par invité576543 ; 27/06/2009 à 15h04.
Par ailleurs, je n'ai pas répondu au sondage. La raison en est que toutes les réponses me semblent correctes, au sens de "défendables".
La question porte sur une terminologie, et une terminologie est une convention. Et il peut y avoir différentes conventions, plus ou moins incompatibles entre elles, mais chacune valable.
Chacun peut exprimer sa préférence, sans que des préférences distinctes soient une contradiction.
J'interprète le résultat du sondage, ainsi que les arguments donnés, comme révélateurs de ces préférences et/ou de la compréhension des concepts, sans aucune portée sur les maths ou la physique.
C'est, il me semble, en gros la même opinion que celle exprimée par ClairEsprit, avec la différence que je considère tout à fait possible que la question soit perçue comme bien posée, et possède, personne par personne, une réponse non ambigüe.
Cordialement,
Oui, mais il n'en reste pas moins une classe abstraite qui fédère des propriétés communes. Un tenseur est une spécialisation de cette classe avec des propriétés qui le caractérise (qui lui sont propre).
N'est-ce pas comme les notions de groupe et de théorie des groupes (qui étudie les groupes pour eux-mêmes) ?
Patrick
Bien sûr.
On peut le présenter comme cela. On peut dire aussi que "tenseur" réfère à des structures qui se trouvent être incluses dans la structure d'espace vectoriel. Parler de "spécialisation" revient à donner un statut particulier à la notion d'espace vectoriel par rapport à d'autres structures dans lesquelles les espaces tensoriels sont inclus. Pourquoi une telle dissymétrie?Un tenseur est une spécialisation de cette classe avec des propriétés qui le caractérise (qui lui sont propre).
C'est comme toutes les structures mathématiques. L'ensemble des nombres complexes estN'est-ce pas comme les notions de groupe et de théorie des groupes (qui étudie les groupes pour eux-mêmes) ?
- un ensemble
- un espace topologique
- un espace métrique
- un groupe additif
- un espace vectoriel sur R
- un espace vectoriel sur Q
- un espace vectoriel sur C
- un groupe de Lie
- une algèbre réelle
- un espace de spineurs
- etc.
Cordialement,
On pourrait dans un esprit large classer comme cousins éloignés les spineurs et les tenseurs mais pour moi, physicien à l'ancienne qui ne perçoit les mathématiques que comme un outil, ils sont suffisamment différents pour être déclarés comme n'ayant aucun rapport.
@+
Un tenseur peut hériter de propriétés d'autres structures que celle d'espace vectoriel ?
C'est plutôt une analogie avec les notions de généralisation (l'espace vectoriel généralise l'espace tensoriel) et de spécialisation (l'espace tensoriel spécialise l'espace vectoriel)
Patrick
Ceci est excate, tous les tenseurs et spineurs ont la structure d'espace vectoriel. dans ce sens ils partagent quelquechose de commun.
Ce n'est pas nécessairement faux que répondre que 1 et 3 sont valables.
Seulement l'appartenance à la structure d'espace vectoriel ne suffit pas, c'est beaucoup trop général, car tous les vecteurs ne sont pas des tenseurs alors que tous les tenseurs sont des vecteurs.
Mathématiquement on définit un tenseur de rang 2 comme étant une application bilinéaire de 2 espaces vectoriels E et F dans l'espace des réels (ou des complexes) l'espace cible justifie l'appellation forme bilinéaire) alors qu'en est-il des spineurs?
salut,
étrange, parce que ce sont justement souvent plutôt les "physiciens à l'ancienne" qui tiennent à voir un rapport direct entre ces choses, pas toujours les mathématiciens (même s'ils le peuvent par exemple avec un point de vue "catégorique" ou avec une "définition empririque")
pour moi ce sondage n'a aucun intéreêt autre que sociologique (et encore : pour cela faudrait que tous ceux qui répondent résument aussi leur formation)
pareilJ'interprète le résultat du sondage, ainsi que les arguments donnés, comme révélateurs de ces préférences et/ou de la compréhension des concepts, sans aucune portée sur les maths ou la physique.
c'est effectivement le cas pour toute personne ayant étudié ça de manière propre mathématiquement. Malheureusement, en physique on te balance les spineurs dans la face dans le cadre de la MQ et en les assimilant aux tenseurs (ou plutôt avec une "certaine idée des tenseurs"), le tout en restant dans le cadre de la notion de représentation de groupes. D'où une belle bouillie mathématique pour les physiciens qui n'ont pas pris le temps de creuser un peu plus loin par eux-mêmes. Disons que le temps n'a pas encore eu le temps de faire son travail : si la situation est telle, c'est surtout parce qu'historiquement ce sont les physiciens qui ont "introduit" les spineurs dans le cadre de la MQ avant même que les mathématiciens ne se soient intéressés à ce concept (même si on aurait déjà pu apercevoir les spineurs dans certains travaux plus anciens), et les physiciens n'ont par la suite pas tous fait l'effort d'aller voir la formulation mathématique propre qu'en ont faite les mathématiciens...
en tous cas ta réponse montre que tu as bien cerné la nature du problèmeDonc soit il y a ambiguité sur la perception de ces objets dans la tête des physiciens, soit la question porte sur autre chose que le côté purement mathématique, et alors elle est mal posée. C'est ce que je vais répondre, finalement, et c'est heureux, car je n'aurais pas les connaissances requises pour me prononcer s'il en était autrement.
oui, quelque chose qu'ils partagent aussi avec les équations différentielles linéaires à coefficients constants d'ordre fixé... comme l'a rappelé mmy, une certaine structure mathématique commune n'est pas toujours ce qu'il faut mettre en avant...
pourquoi crois-tu qu'il y a deux mots différents même pour les mathématiciens ?
faux...
[edit] pour être plus précis : je te défie de me filer un exemple de vecteur que je ne puisse pas assimiler par isomorphisme avec un certain type de tenseur...
faux.... faudrait réviser tes classiques : les travaux de Cartan ont précédé la MQ même si c'est un physicien (Ehrenfest en l'occurence) qui a "inventé" le mot et donc la physique qui les a popularisés
Bonjour,faux...
[edit] pour être plus précis : je te défie de me filer un exemple de vecteur que je ne puisse pas assimiler par isomorphisme avec un certain type de tenseur...
sans aucune difficulté.
1- Soit une base de vecteur |i> |j> |k>
Aucun de ces vecteurs n'est un tenseur, même pas de rang 1.
2- La connexion, symbole de chistoffel, est un vecteur dans le sens parceque ses composantes sont indépendantes, mais ce n'est pas pour autant un tenseur.
C'est effectivement ce que j'ai vu dans ma vie professionnelle. Les tenseurs et les spineurs sont perçues comme 2 choses à part. C'est effectivement le résultat d'un certain pragmatisme théorique qui peut s'expliquer par l'histoire en général et surtout par la façon d'enseigner les choses et particulièrement l'absence de rapports calculés entre les cours de mathématiques et les cours de physique.
Bonjour,
sans aucune difficulté.
1- Soit une base de vecteur |i> |j> |k>
Aucun de ces vecteurs n'est un tenseur, même pas de rang 1.Pourquoi donc?
Si les éléments de la base sont considérés comme des vecteurs (ce qui est impliqué par "Aucun de ces vecteurs"), c'est à dire des éléments en tant que tels de l'espace vectoriel, alors ce sont des tenseurs d'ordre 1.
Par contre on peut discuter si un élément d'une base est un vecteur.
Quel est l'espace vectoriel dont il est question?2- La connexion, symbole de chistoffel, est un vecteur dans le sens parceque ses composantes sont indépendantes, mais ce n'est pas pour autant un tenseur.
Cordialement,
j'aurais dû préciser que la rigueur mathématique était pas interdite dans la réponse
perdu... ces vecteurs peuvent aussi être considérés comme des éléments de l'espace bidual de celui dans lequel ils vivent... et sont donc en isomorphisme avec des tenseurs de rang 11- Soit une base de vecteur |i> |j> |k>
Aucun de ces vecteurs n'est un tenseur, même pas de rang 1.
manque total de précision de ta part (connexion et symbole de Christoffel sont des choses différentes ; la notion d'indépendance n'est pas suffisante pour que l'on puisse parler de vecteur) qui font que je peux facilement te contredire de plusieurs façons :2- La connexion, symbole de chistoffel, est un vecteur dans le sens parceque ses composantes sont indépendantes, mais ce n'est pas pour autant un tenseur.
- dans une définition de ce terme, les "connexions" peuvent être posées comme des 1-formes et donc des tenseurs
- il en est de même des Christoffel si on se place dans le formalisme de la tétrade et sans prendre la peine de repartir d'un truc propre à base de formes (autrement dit si on se contente de ne pas utiliser des bases naturelles de coordonnées comme c'est fait et non dit dans pas mal de cours d'intro à la RG ou au calcul tensoriel, mais s'autorise à utiliser des n-beins quelconques)
- si tu gardes la vision "basique" de connexion comme tableau de nombres, le contre-exemple précédent (à base de bidual) marche tout autant.
ce que tu te refuses à admettre/comprendre c'est que les notions de vecteurs ou de tenseurs sont relatives à un certain espace... et TA vision n'est pas LA vision. C'est juste une vision reposant sur plein d'a priori que tu considères comme LA Vérité mais qui ne le sont pas plus que d'autres.
[edit] croisement avec michel...
Pas d'accord du tout. Les physiciens à l'ancienne voient justement une forte distance entre tenseurs et spineurs et c'est vraiment pourquoi je pose la question pour que chacun selon son propre cheminement puisse établir une "connexion".
Il a effectivement une fonction sociologique dans ce sondage pour voir effectivement comment les "populations" comprennent les spineurs et tenseurs. Mais là n'est pas l'essentiel. Ce qui est intéressant ce sont les discussions qui sont menées permettant à chacun d'entre nous de réfléchir.pour moi ce sondage n'a aucun intéreêt autre que sociologique (et encore : pour cela faudrait que tous ceux qui répondent résument aussi leur formation)
D'ailleurs sauf erreur de ma part tu n'as rien dit sur la question:
Qu'est-ce qu'un spineur?
Comment situer un spineur relativement à un tenseur?
Si les choses étaient enseignées ainsi ce serait un moindre mal. l'enseignement ferait un gigantesque bon en avant.c'est effectivement le cas pour toute personne ayant étudié ça de manière propre mathématiquement. Malheureusement, en physique on te balance les spineurs dans la face dans le cadre de la MQ et en les assimilant aux tenseurs (ou plutôt avec une "certaine idée des tenseurs"), le tout en restant dans le cadre de la notion de représentation de groupes.
Efectivement le temps n'est pas encore fait son travail. D'une certaine façon la question que je pose reviens a effectivement faire un constat. Pour avoir lu tous les livres classiques de particules élémentaires on ne peut pas dire que la question soit clairement exposée à l'exception de Landau, comme très souvent d'ailleurs.D'où une belle bouillie mathématique pour les physiciens qui n'ont pas pris le temps de creuser un peu plus loin par eux-mêmes. Disons que le temps n'a pas encore eu le temps de faire son travail
Historiquement ce sont les mathématiciens qui ont découvert le concept de spineurs. Jusqu'a maintenant dans ce fil aucune référence aux travaux des mathématiciens. C'est un peu la même chose que le programme d'Erlangen qu'aucun physicien, ou presque, ne connait la substance, même pas le nom de klein.: si la situation est telle, c'est surtout parce qu'historiquement ce sont les physiciens qui ont "introduit" les spineurs dans le cadre de la MQ avant même que les mathématiciens ne se soient intéressés à ce concept (même si on aurait déjà pu apercevoir les spineurs dans certains travaux plus anciens
Ceci est parfaitement vrai. Mais c'est la même chose pour la TRG ou les travaux de Weyl ont été ignorés par les pères de la MQ, non pas par mépris mais par incompréhension de l'importance de la TRG en MQ. Nous héritons de cette situation encore aujourd'hui., et les physiciens n'ont par la suite pas tous fait l'effort d'aller voir la formulation mathématique propre qu'en ont faite les mathématiciens...
Tu classes Elie Cartan dans quelle catégorie?
Cordialement,
bah ça dépend peut-être de ce que tu appelles "ancienne"
je n'ai effectivement pas répondu car comme souvent en math tu as plusieurs définitions/points de vue possibles.... la plus courante pour un physicien c'est probablement celle liée à l'algèbre de Clifford et donc à une forme quadratique et en conséquence aux tenseurs via les groupes et leurs représentations (dans ce cas on peut dire que les spineurs généralisent les tenseurs), mais en même temps rien n'interdit de définir les spineurs comme un type particulier de vecteurs complexes sur un espace de dimension paire et muni d'une structure symplectique... dans ce cas, on peut d'une certaine façon construire la notion de spineur sans avoir vraiment recours à celle de tenseur. Évidemment, toutes ces choses et la notion de représentation de groupe sont liées, mais y'a plusieurs points de vue et construction possibles et je ne serais pas d'accord pour dire qu'il existe UNE hierarchie.D'ailleurs sauf erreur de ma part tu n'as rien dit sur la question:
Qu'est-ce qu'un spineur?
Comment situer un spineur relativement à un tenseur?
Landau est pas franchement ma référence niveau clarté d'exposé... mais tout ça est très personnel une fois encore... et tu as de la chance si tu as eu le temps de lire TOUS les classiques...Pour avoir lu tous les livres classiques de particules élémentaires on ne peut pas dire que la question soit clairement exposée à l'exception de Landau, comme très souvent d'ailleurs.
Je répond à ta question en même temps qu'a Rincevent.
Si les éléments de la base sont considérés comme des vecteurs (ce qui est impliqué par "Aucun de ces vecteurs"), c'est à dire des éléments en tant que tels de l'espace vectoriel, alors ce sont des tenseurs d'ordre 1.
Par contre on peut discuter si un élément d'une base est un vecteur.
Quel est l'espace vectoriel dont il est question?
Cordialement,
Pour "moi" un tenseur (peu-importe le rang ou son caractère contra ou covariant) est un vecteur muni de propriétés spéciales. Ces propriétés spéciales sont le comportement des composantes dans un changement de base.
Dans les livres de maths on définit un tenseur de rang 2 comme une forme bilinéaire
a (f,X,Y) = f(X,Y)
= Gij Xi.Yj
X et Y sont des vecteurs des espaces E1 et E2 sur un corps K.
a est un élement du corps des espaces vectoriels.
Gij étant la represention du tenseur f dans une base définie par les bases des X (..xi..) et des Y (...yj..)
Par extension les vecteurs X et Y sont des tenseurs contravariant de rang 1 parcequ'ils ont un comportement spécial, eux aussi, dans un changement de base et que celui-ci est différent des tenseurs de rang 2.
A noter qu 'en tant que propriété spéciales on peut inventer autant de propritété spéciales que l'on veut. Donc les tenseurs ne sont qu'une famille très particulière de vecteurs.
Ce qui définit donc un tenseur de rang n c'est le comportement de ses composantes par un changement de base. Ce qui veut dire que les vecteurs de base ne définissent un tenseur puisque sont les références qui permettent de définir la base.
justement, c'est bien pour ça que ce genre de discussion en revient toujours au mème : tu as ton point de vue et considère que c'est LA Vérité. Alors qu'en plus il contredit souvent des définitions mathématiques de base. C'est d'ailleurs pour ça que je vais pas répondre à ton message même si je suis en quasi-complet désaccord avec ce que tu y dis. Je vais juste faire une remarque :
tu oublies complètement en disant ça que les notions d'espace vectoriel et de tenseurs se définissent parfaitement sans faire la moindre référence à celle de base. Autrement dit, je pense que tu ne devrais pas parler de la différence entre un tenseur et un vecteur (ou un spineur) mais de "la différence entre un maripotenseur et un maripovecteur"...Ce qui définit donc un tenseur de rang n c'est le comportement de ses composantes par un changement de base. Ce qui veut dire que les vecteurs de base ne définissent un tenseur puisque sont les références qui permettent de définir la base.
Annulé...........
Bien entendu Cartan est un mathématicien. Je faisais simplement remarquer que personne dans ce fil ne faisait référence aux mathématiciens concernés. En fait le mathématicien à mettre en avant sur la question des spineurs c'est justement Clifford qui dans sa démarche a voulu généraliser le notion de nombre complexes (A vérifier sur le plan purement historique) comme l'avait fait précedemment Hamilton avec les quaternions.
Bien entendu cela est l'approche des mathématiciens. Le problème est que c'est Dirac qui, a son insu de plein gré, a redécouvert l'algébre de Clifford mais sous une forme très différente.
Dans la démonstration de l'équation de Dirac l'algébre de Clifford n"apparait en rien comme une algébre (de Clifford) mais seulement comme une contrainte sur la forme de l'équation.
Pour ceux qui se posent la question, comment un physicien à l'ancienne perçoit le spineur je répondrait que dans mon cas je suis parfaitement en accord avec la définition de Roger Penrose, je cite:"Qu'est-ce qu'un spineur ? C'est essentiellement un objet qui se transforme en son opposé après un tour complet (une rotation d'un angle 2 Pi)". Et d'ajouter:"Cela peut sembler tout bonnement absurde, car tout les objets de notre quotidien reviennent à leur état initial après une telle rotation, point barre."
Dans "A la découverte des lois de l'univers" dont je conseille vivement la lecture, même à ceux qui pensent tout savoir.
@+
