spineurs et tenseurs

[mariposa]

justement, c'est bien pour ça que ce genre de discussion en revient toujours au mème : tu as ton point de vue et considère que c'est LA Vérité. Alors qu'en plus il contredit souvent des définitions mathématiques de base. C'est d'ailleurs pour ça que je vais pas répondre à ton message même si je suis en quasi-complet désaccord avec ce que tu y dis. Je vais juste faire une remarque :

En contradiction avec des notions de mathématiques de base!, il faudrait que tu avances des éléments concrets là-dessus. Tout ce que je dit est conforme aux livres de Bass ligne par ligne ainsi qu'aux Landau et Feymann. Donne moi un seul exemple ou sur le plan mathématiques c'est faux.

La seule concession que je puisse te conceder est peut-être la manière de presenter les choses voire mêmes de penser les choses. Il y a peut-être une très forte différence. Néanmoins il n'y a qu'une seule définition des tenseurs et non la mienne qui serait MA vérité.

tu oublies complètement en disant ça que les notions d'espace vectoriel et de tenseurs se définissent parfaitement sans faire la moindre référence à celle de base.

Cele me parait absurde et en contradiction avec la notion même d'espace vectoriel. A savoir qu'un vecteur élement d'un ensemble peut se décomposer dans une partie de cet ensemble que l'on peut appeller base dans le sens ou tous les vecteurs de cet ensemble peuvent être representés par cette partie de l'ensemble que l'on appelle base.

Autrement dit, je pense que tu ne devrais pas parler de la différence entre un tenseur et un vecteur (ou un spineur) mais de "la différence entre un maripotenseur et un maripovecteur"...

Entièrement d'accord mais en remarquant qu'il y une classe d'équivalence qui comprend mariTenseur, LandauTenseur, FeymannTenseur et bien d'autres.
-----

[invité576543]

C'est qui Bass?

Cordialement,

[invite6754323456711]

pourquoi crois-tu qu'il y a deux mots différents même pour les mathématiciens ?

Oui, mais que quel autre structure hérite t-il ?

Par exemple un tenseur t est un vecteur de l'espace vectoriel Wmn produit tensoriel de deux espaces vectoriels Um et Vn

t = t^ij e_i f_i

Il hérite donc des propriétés de la structure d'espace vectoriel.

En tant que tenseur il rajoute de nouvelles propriétés (multiplication tensorielle, contraction des indices, multiplication contractée, symétrie, antisymétrie ...) découlant de la structure d'espace tensoriel.

Maintenant de quel autre structure d'espace peut-il hériter ?

Patrick

[invité576543]

Cele me parait absurde et en contradiction avec la notion même d'espace vectoriel.

Pas d'accord du tout (et d'accord avec Rincevent). La structure d'espace vectoriel est définie par la structure de groupe additif et l'opération externe de multiplication, avec certaines contraintes. Pas du tout par la notion de base, qui en est juste une conséquence (et encore, pas systématique : en dimension infinie sans l'axiome du choix, il y a une difficulté).

A savoir qu'un vecteur élement d'un ensemble peut se décomposer dans une partie de cet ensemble que l'on peut appeller base dans le sens ou tous les vecteurs de cet ensemble peuvent être representés par cette partie de l'ensemble que l'on appelle base.

Pas du tout la définition d'un espace vectoriel. C'est très insuffisant, il est trivial de proposer des ensembles respectant cette propriété sans être des espaces vectoriels. Exemple {1, pi, 1+pi}.

Cordialement,

[mariposa]

je n'ai effectivement pas répondu car comme souvent en math tu as plusieurs définitions/points de vue possibles....

Absolument. Le vrai problème c'est un angle d'attaque qui soit adapté aux physiciens. la notion d'adaptation pouvant avoir un certain spectre.

Comme contre-exemple j'ai un cours de polytechnique excellent sur le plan mathématique et bien détaillé dont le titre est:formes quadratiques et groupes classiques et qui finit en algébre de Clifford. Ce livre n'est pas adapté à la physique car aucun étudiant aussi génial soit-il ne serait à même de l'adapter à la physique.

L'avantage de ce livre par contre est de bien mettre en évidence une certaine forme de laxisme en ce qui concerne l'algébre de Clifford. il y a certainement un moyen à trouver ou à inventer et peut-être que cette présentation existe quelque part.

la plus courante pour un physicien c'est probablement celle liée à l'algèbre de Clifford et donc à une forme quadratique et en conséquence aux tenseurs via les groupes et leurs représentations (dans ce cas on peut dire que les spineurs généralisent les tenseurs),

Je ne me risquerait pas à presenter ceci comme le point de vue privilégié des physiciens (à la rigueur des physiciens théoriciens) car ces derniers ne savent pas ou ont oublié ce qu'était une algébre!

Pour autant que je sache du point de vue des mathématiciens (il faudrait leur demander) les spineurs sont des representations des algébres de Clifford. A noter qu'a priori groupes et algébres de Clifford ne sont liés que par la notion de representation linéaire.

Encore faudrait-il que l'espace vectoriel sur lequel on construit l'algébre de Clifford, cad une fermeture sur une loi de composition que l'on note multiplicativement (mais qui n'est pas une loi de multiplication de matrices) soit lui-même un espace muni de la structure d'espace tensorielle. La structure tensorielle est liée aux propriétés de multiplications des matrices, ce qui n'est pas le cas de la loi de composition "multiplicatives" dans l'algébre de Clifford (sauf en termes de representations).

mais en même temps rien n'interdit de définir les spineurs comme un type particulier de vecteurs complexes sur un espace de dimension paire et muni d'une structure symplectique... dans ce cas, on peut d'une certaine façon construire la notion de spineur sans avoir vraiment recours à celle de tenseur.

C'est excatement ce que fait Landau. Ce que tu appelles structure symplectique ce serait dans ce contexte plutôt une forme extérieure cad un produit tensoriel antisymétrique cad une forme bilinéaire spécifique et donc un spineur est un cas particulier de tenseur. Si les tenseurs appartiennent à GL (2,C) alors les spineurs appartiennent au sousd-groupe SL(2,C) voire à U(2) s'ils sont normés. Ce qui met bien évidence le caractère particulier des spineurs relativement aux tenseurs.

Évidemment, toutes ces choses et la notion de représentation de groupe sont liées, mais y'a plusieurs points de vue et construction possibles et je ne serais pas d'accord pour dire qu'il existe UNE hierarchie.

Où as-tu vu qu je parle de hiérarchie. Il y a seulement differents angles d'attaques dont certaines sont mieux adaptées aux physiciens.

néanmoins pour ne prendre que l'exemple de l'équation de dirac sur laquelle j'ai pas mal réfléchi je n'ai pas trouvé satisfaction car la bonne compréhension de celle-ci repose sur les rols respectifs de l'algébre de Lie et de l'algébre de Clifford. Pour ce que j'ai pu lire aucun ne presente completement la question. Les démonstrations me semblement décousues.

[invité576543]

Oui, mais que quel autre structure hérite t-il ?

Par exemple un tenseur t est un vecteur de l'espace vectoriel Wmn produit tensoriel de deux espaces vectoriels Um et Vn

t = t^ij e_i f_i

Il hérite donc des propriétés de la structure d'espace vectoriel.

C'est un choix biaisé de ta part.

On peut écrire, de manière moins biaisée, et tout aussi correcte:

"Par exemple un tenseur t est un élément de l'espace Wmn produit tensoriel de deux espaces vectoriels Um et Vn"

On peut munir de manière canonique cet espace d'une structure d'espace vectoriel à partir des structures de Um et Vn. Mais ce n'est pas nécessairement la seule structure d'espace vectoriel (suffit de jouer avec R et C).

En tant que tenseur il rajoute de nouvelles propriétés (multiplication tensorielle, contraction des indices, multiplication contractée, symétrie, antisymétrie ...) découlant de la structure d'espace tensoriel.

"rajouter" est encore un biais. Et il me semble que la notion "d'espace tensoriel" n'existe pas en tant que telle. Ce serait comme parler de "espace produit cartésien", pour faire un parallèle.

Ensuite tu mélanges pas mal de choses, là. La contraction des indices par exemple n'est pas une propriété générale liée à la notion de tenseur. Elle ne s'applique que dans des cas particuliers, et est de toutes manières une opération externe mettant en jeu plusieurs espaces (comme la multiplication tensorielle, d'ailleurs). C'est mieux vu comme des propriétés de l'algèbre tensorielle d'un espace vectoriel.

Maintenant de quel autre structure d'espace peut-il hériter

La topologie par exemple. Si on prend des espaces vectoriels sur un corps fini, ce n'est pas la même chose que des espaces vectoriels sur R.

Les polynômes sur Z/2Z forment un espace vectoriel sur Z/2Z par exemple, et on peut parler de tenseurs à partir de cet espace. Pas vraiment la même chose que les vecteurs du plan euclidien.

Cordialement,

[mariposa]

C'est qui Bass?

Cordialement,

Ce sont 2 livres dont l'auteur est J.Bass intitulé Cours de Mathématiques chez Masson qui ont été réedité n fois et qui étaient les livres recommandés dans les annés 1970 pour passer l'Agreg de math.

Je ne sais pas si ces livres sont encore d'actualités.

[invite6754323456711]

Ensuite tu mélanges pas mal de choses, là. La contraction des indices par exemple n'est pas une propriété générale liée à la notion de tenseur. Elle ne s'applique que dans des cas particuliers, et est de toutes manières une opération externe mettant en jeu plusieurs espaces (comme la multiplication tensorielle, d'ailleurs). C'est mieux vu comme des propriétés de l'algèbre tensorielle d'un espace vectoriel.

Certainement je suis dans la phase d'auto-initiation. Qu'est-ce qui caractérise (propriété, critère de tensorialité) un tenseur ? Comment savoir si une quantité physique possède un caractère tensoriel ?

Patrick

[mariposa]

Pas d'accord du tout (et d'accord avec Rincevent). La structure d'espace vectoriel est définie par la structure de groupe additif et l'opération externe de multiplication, avec certaines contraintes. Pas du tout par la notion de base, qui en est juste une conséquence (et encore, pas systématique : en dimension infinie sans l'axiome du choix, il y a une difficulté).

Je suis d'accord avec çà. Sauf que:

1- Je considére que la structure de groupe (notée additivement) est une conséquence et où l'élement neutre est le vecteur zéro.

2- L'existence d'un base est également une conséquence dans le sens ou si la somme de n vecteurs est égale au vecteur nul alors seul n-1 vecteurs sont indépendants et définissent une base.

En bref la structure d'espace vectorielle est bien une abstraction des vecteurs du lycée.

Pas du tout la définition d'un espace vectoriel. C'est très insuffisant, il est trivial de proposer des ensembles respectant cette propriété sans être des espaces vectoriels. Exemple {1, pi, 1+pi}.

1- Il manque l'élément neutre pour l'addition

2- pi = 1.pi qui est la multiplication du vecteur 1 par le nombre pi externe.

Donc ceci n'est pas pour moi un espace vectoriel.

[mariposa]

Certainement je suis dans la phase d'auto-initiation. Qu'est-ce qui caractérise (propriété, critère de tensorialité) un tenseur ? Comment savoir si une quantité physique possède un caractère tensoriel ?

Patrick

C'est le fondement même des tenseurs.

Pour identifier la nature tensorielle d'un vecteur il faut voir le comportement de ses composantes (du tenseur) dans un changement de base M relativement à ce changement de base.. il n' y a aucune alternative. C'est l'essence même des tenseurs.

Par exemple un tenseur de rang 2 (covariant) se transforme comme 2 fois le changement de base. Mentalement on peut dire que le tenseur de rang 2 tourne 2 fois plus vite que le changement de base.

Evidemment un tenseur covariant de rang n tourne n fois plus vite.

[invité576543]

1- Je considére que la structure de groupe (notée additivement) est une conséquence et où l'élement neutre est le vecteur zéro.

Cela revient à ne considérer que les espaces avec

\alpha

un cardinal. C'est une vision constructiviste, mais qui est plus limitée que la définition (E, K, +, x).

2- L'existence d'un base est également une conséquence dans le sens ou si la somme de n vecteurs est égale au vecteur nul alors seul n-1 vecteurs sont indépendants et définissent une base.

Soit la base est prise comme définition (= ), soit elle ne l'est pas et il me semble que l'existence d'une base n'est pas garantie (cf. message précédent et la référence à l'axiome du choix).

1- Il manque l'élément neutre pour l'addition

Non. Il manquait la notion d'addition dans la définition proposée :

A savoir qu'un vecteur élement d'un ensemble peut se décomposer dans une partie de cet ensemble que l'on peut appeller base dans le sens ou tous les vecteurs de cet ensemble peuvent être representés par cette partie de l'ensemble que l'on appelle base

Faudrait éviter de confondre les insuffisances de l'exemple avec l'insuffisance de la définition proposée!

Pour répondre sérieusement à ma critique, il faudrait compléter la définition (par exemple en y introduisant l'addition...).

Cordialement,

[invité576543]

Certainement je suis dans la phase d'auto-initiation. Qu'est-ce qui caractérise (propriété, critère de tensorialité) un tenseur ?

Du point de vue mathématique, c'est la relation entre et E1 et E2 qui permet de parler de produit tensoriel. On ne peut parler d'un tenseur que dans le contexte d'un produit tensoriel entre espaces vectoriels, comme un élément d'un espace T vu comme produit.

C'est un peu comme "couple" et "produit cartésien". On dira qu'un élément est un couple uniquement dans le contexte d'un ensemble défini comme UxV. La notion de couple n'est pas intrinsèque à un ensemble, mais à la relation qu'il entretient avec U et V (et aux opérations de projection).

Comment savoir si une quantité physique possède un caractère tensoriel ?

L'usage du terme tenseur en physique est plus particulier.

Ma compréhension:

Les usages principaux sont les éléments de l'algèbre tensorielle de l'espace vectoriel des translations de l'espace (R³) d'une part, ou de l'algèbre tensorielle de l'espace vectoriel des translations de l'espace-temps, ou encore (et souvent avec la confusion tenseur = champ de tenseurs) de l'algèbre tensorielle de l'espace vectoriel tangent de l'espace-temps comme variété, selon le contexte (resp. classique, RR, RG).

Une quantité physique sera présentée comme tensorielle si elle appartient à l'une ou l'autre de ces algèbres.

(L'algèbre tensorielle d'un espace E est la somme directe des produits tensoriels d'un nombre fini quelconque de copies de E et d'un nombre fini quelconque de copies de E*.)

En plus clair, une quantité tensorielle en physique est une quantité qui se construit à partir d'un espace de translation (ou mieux de l'espace tangent) et de son dual, en utilisant le produit tensoriel (ou directement : les scalaires sont des tenseurs d'ordre 0).

Cordialement,

[Rincevent]

En contradiction avec des notions de mathématiques de base!, il faudrait que tu avances des éléments concrets là-dessus. Tout ce que je dit est conforme aux livres de Bass ligne par ligne ainsi qu'aux Landau et Feymann. Donne moi un seul exemple ou sur le plan mathématiques c'est faux.

comme l'a dit mmy faire tout reposer sur la notion de base c'est se placer dans un cadre restrictif et pas super rigoureux (enfin, ça peut se faire de manière rigoureuse, mais c'est absolument pas dans l'esprit des maths modernes... utiliser une base c'est comme écrire 3 équations au lieu d'une équation vectorielle : on perd plein d'informations et de temps). Bass je connais pas, mais prends n'importe quel bouquin correct d'algèbre linéaire moderne et tu ne verras pas la notion de base comme un fondement de la notion d'espace vectoriel mais bien un "sous-produit". Quant à Landau et Feynman, ils étaient physiciens et pas mathématiciens.

Néanmoins il n'y a qu'une seule définition des tenseurs et non la mienne qui serait MA vérité.

faux. Il y en a plusieurs et celle que tu présentes (qui repose sur la notion de base) est celle des "physiciens à l'ancienne" qu'on ne rencontre absolument jamais en math (ou alors dans un cours de math pour physiciens fait par un physicien )

Cele me parait absurde et en contradiction avec la notion même d'espace vectoriel. A savoir qu'un vecteur élement d'un ensemble peut se décomposer dans une partie de cet ensemble que l'on peut appeller base dans le sens ou tous les vecteurs de cet ensemble peuvent être representés par cette partie de l'ensemble que l'on appelle base.

si ça te paraît absurde et en contradiction avec la notion d'EV, je ne vois qu'une solution : achète des livres de 1ère année de math ou réinscris toi à la fac (mais de math)

Entièrement d'accord mais en remarquant qu'il y une classe d'équivalence qui comprend mariTenseur, LandauTenseur, FeymannTenseur et bien d'autres.

oui, c'est même une des classes d'équivalence de "physiciens à l'ancienne"

[Rincevent]

Pour identifier la nature tensorielle d'un vecteur il faut voir le comportement de ses composantes (du tenseur) dans un changement de base M relativement à ce changement de base.. il n' y a aucune alternative. C'est l'essence même des tenseurs.

c'est UNE approche, pas L'approche... mais bon, j'ai déjà dit, redit et répété ça 56820045726 fois dans 7309293649402834658946 fils différents alors je laisse tomber... si t'as pas envie de comprendre que ton point de vue est très restrictif et qu'il implique de passer à côté de plein de choses de physique fondamentale moderne, tant pis pour toi... ça m'empêchera pas de dormir...

[invité576543]

Il y a d'autres lecteurs.

Et de l'ombre peut jaillir la lumière...

Cordialement,

[Rincevent]

Absolument. Le vrai problème c'est un angle d'attaque qui soit adapté aux physiciens. la notion d'adaptation pouvant avoir un certain spectre.

oui... et toute la physique ne se résume pas à la physique des solides malgré ce que certains semblent croire parfois...

Comme contre-exemple j'ai un cours de polytechnique excellent sur le plan mathématique et bien détaillé dont le titre est:formes quadratiques et groupes classiques et qui finit en algébre de Clifford. Ce livre n'est pas adapté à la physique car aucun étudiant aussi génial soit-il ne serait à même de l'adapter à la physique.

comment sais-tu qu'aucun étudiant ne saurait l'adapter ? j'ai connu plusieurs étudiants qui avaient besoin en parallèle des cours de physique de cours de math propres pour pas se noyer dans la bouillie de physiciens et perso c'est par des bouquins de maths que j'ai réellement compris ce que j'ai compris (ou cru comprendre ) sur tout ça

Je ne me risquerait pas à presenter ceci comme le point de vue privilégié des physiciens (à la rigueur des physiciens théoriciens) car ces derniers ne savent pas ou ont oublié ce qu'était une algébre!

disons que c'est le point de vue inconsciemment privilégié

Pour autant que je sache du point de vue des mathématiciens (il faudrait leur demander) les spineurs sont des representations des algébres de Clifford.

l'aspect vecteur complexe dont je parlais tu le trouves dans des bouquins de math aussi... c'est bien pour ça que je citais ces 2 points de vue

Encore faudrait-il que l'espace vectoriel sur lequel on construit l'algébre de Clifford (...) soit lui-même un espace muni de la structure d'espace tensorielle.

tu peux toujours munir un espace vectoriel d'une structure tensorielle (enfin, à ceci près qu'un matheux s'arracherait les cheveux à lire ça dit comme ça )

La structure tensorielle est liée aux propriétés de multiplications des matrices

C'est excatement ce que fait Landau. Ce que tu appelles structure symplectique ce serait dans ce contexte plutôt une forme extérieure cad un produit tensoriel antisymétrique cad une forme bilinéaire spécifique et donc un spineur est un cas particulier de tenseur.

pourquoi "plutôt" ? En math ça s'appelle une structure symplectique et tu peux parfaitement définir ça sans avoir auparavant introduit la notion de produit tensoriel. Encore une fois tu prends une construction de physicien comme LA seule définition possible.

Si les tenseurs appartiennent à GL (2,C) alors les spineurs appartiennent au sousd-groupe SL(2,C) voire à U(2) s'ils sont normés. Ce qui met bien évidence le caractère particulier des spineurs relativement aux tenseurs.

uniquement dans l'approche mariposienne qui refuse de comprendre que son point de vue est restrictif. Sur n'importe quel espace mathématique (surtout si tu prends un machin linéaire ou affine à la base) tu peux rajouter plein de structures donc celle de tenseur. Mais ce n'est pas parce qu'on le peut que c'est nécessaire pour construire les autres.

Où as-tu vu qu je parle de hiérarchie.

dans l'exemple présent tu le fais en remettant à chaque fois le concept de tenseur comme sousjacent à celui de spineur

Il y a seulement differents angles d'attaques dont certaines sont mieux adaptées aux physiciens.

mais tous les physiciens ne sont pas physiciens des solides...

[invite6754323456711]

comme l'a dit mmy faire tout reposer sur la notion de base c'est se placer dans un cadre restrictif et pas super rigoureux (enfin, ça peut se faire de manière rigoureuse, mais c'est absolument pas dans l'esprit des maths modernes... utiliser une base c'est comme écrire 3 équations au lieu d'une équation vectorielle : on perd plein d'informations et de temps).

Pour bien comprendre cette vision moderne. Qu'a t-elle de particulier ? La propriété d'un vecteur quelconque est qu'il s'exprime de façon unique comme combinaison linéaire des vecteurs d'une base. Il n'est pas équivalent de raisonner sur la quantité vectorielle (vecteur) ou sur ses composantes xⁱ ? Que perd t-on comme information ?

Patrick

[invité576543]

Que perd t-on comme information ?

La distinction entre ce qui est indépendant du choix de la base et ce qui dépend du choix de la base. En particulier dans le cas où l'ensemble des bases est homogène.

A bien regarder, choisir une base ne sert alors en général qu'aux calculs numériques.

Cordialement,

[mariposa]

oui... et toute la physique ne se résume pas à la physique des solides malgré ce que certains semblent croire parfois...

comment sais-tu qu'aucun étudiant ne saurait l'adapter ? j'ai connu plusieurs étudiants qui avaient besoin en parallèle des cours de physique de cours de math propres pour pas se noyer dans la bouillie de physiciens et perso c'est par des bouquins de maths que j'ai réellement compris ce que j'ai compris (ou cru comprendre ) sur tout ça

Justement je ne cesse d'argumenter que certains chapitres mathématiques à la physicienne ne sont pas claires parceque trop pragmatique ou trop le nez sur le guidon. A contrario des points de vue trop mathématiques peuvent être suffisamment abstrait au point de ne pas pouvoir établir une "connexion" avec la physique.

Je trouve que ce fil a tourné à la polémique. Tu as trouvé l'habitude de considerer suystématiquement que ce que je disais était mon point de vue personnel alors qu'il est partagé et utilisé par des gens comme Feymann ou Landau. Ta réponse est que ce ne sont pas des mathématiciens. effectivement ce ne sont pas des mathématiciens. Et justement je parle en physicien et non en mathématicien( ce n'est pas mon métier).

l'aspect vecteur complexe dont je parlais tu le trouves dans des bouquins de math aussi... c'est bien pour ça que je citais ces 2 points de vue

Encore heureux, mais ce n'est en aucune façon un autre aspect. La jonction entre les 2 aspects est très courte. D'un coté on fabrique un tenseur antisymétrique de rang 2. Celui définit automatiquement une algébre de Clifford pour une certaine forme quadratique.

tu peux toujours munir un espace vectoriel d'une structure tensorielle (enfin, à ceci près qu'un matheux s'arracherait les cheveux à lire ça dit comme ça )

Soit alors pose la question aux mathématiciens de Futura.

pourquoi "plutôt" ? En math ça s'appelle une structure symplectique et tu peux parfaitement définir ça sans avoir auparavant introduit la notion de produit tensoriel. Encore une fois tu prends une construction de physicien comme LA seule définition possible.

Cela coïncide pour les spineurs de rang2 mais ce n'est pas sûr du tout que cela soit vrai pour les spineurs de rang supérieur (question a examiner).

uniquement dans l'approche mariposienne qui refuse de comprendre que son point de vue est restrictif.

Tu répète cela sans arret, mais tu ne donnes aucun exemple qui montre que mon point de vue est restrictif.

Sur n'importe quel espace mathématique (surtout si tu prends un machin linéaire ou affine à la base) tu peux rajouter plein de structures donc celle de tenseur. Mais ce n'est pas parce qu'on le peut que c'est nécessaire pour construire les autres.

Tu veux dire que tu peux définir une structure tensorielle sur des espaces autres que vectoriels. C'est çà que tu veux dire.

dans l'exemple présent tu le fais en remettant à chaque fois le concept de tenseur comme sousjacent à celui de spineur

Effectivement les structures vectorielles et spinorielles sont très proches et ta critique renvoie à la question précedente. Comment définir une structure tensorielle sans référence à un espace vectoriel.

mais tous les physiciens ne sont pas physiciens des solides...

Aurais-je dit le contraire?

Par contre il est remarquable que toute référence à la physique du solide est quasiment inexistente. Pourtant c'est un lieu privilégié pour manipuler à la fois les tenseurs et les spineurs. C'est même un domaine ou je pense pouvoir affirmer avoir fait mes preuves.

[invite5a89bfe6]

faux.... faudrait réviser tes classiques : les travaux de Cartan ont précédé la MQ même si c'est un physicien (Ehrenfest en l'occurence) qui a "inventé" le mot et donc la physique qui les a popularisés

salut,

ça va rincevent ?

[invite5a89bfe6]

salut,

ça va rincevent ?

la notion de dimension d'un e.v est tributaire de la notion d'indépendance linaire (famille génératrice de l'e.v). Mais c'est vrai la notion d'e.v vient avant. Tout comme la notion d'ensemble vient avant de celle d'e.v.
Donc spineur ou tenseur, ça reste des éléments d'un ensemble.
Mais comme on peut, à partir d'un ensemble, composer l'ensemble des parties de ce même ensemble, peut-être alors que le rapport existant entre ces deux êtres mathématiques est-il à chercher dans les rapports qu'ont entre-eux les divers éléments de l'ensemble des parties de l'ensemble de départ....


Oulàlalala, je suis fatigué
je vais aller me coucher

[Rincevent]

Justement je ne cesse d'argumenter que certains chapitres mathématiques à la physicienne ne sont pas claires parceque trop pragmatique ou trop le nez sur le guidon. A contrario des points de vue trop mathématiques peuvent être suffisamment abstrait au point de ne pas pouvoir établir une "connexion" avec la physique.

le problème c'est que tu as ce discours aux prétentions générales mais sembles incapable de réaliser que c'est pas parce qu'un truc est trop abstrait ou trop mathématique pour toi qu'il est inutile pour tous les physiciens.

Je trouve que ce fil a tourné à la polémique.

comme souvent quand tu refuses le dialogue et considères détenir LA Vérité

Tu as trouvé l'habitude de considerer suystématiquement que ce que je disais était mon point de vue personnel alors qu'il est partagé et utilisé par des gens comme Feymann ou Landau.

au risque de créer une certaine nostalgie/peine, laisse-moi t'informer que Landau est mort depuis 41 ans et Feynman depuis "seulement" 21 ans... ne crois-tu pas que la vision physique de certains concepts mathématiques a pu évoluer en 20 ans ? (pour ne retenir le cas le plus favorable à ton discours)...

Ta réponse est que ce ne sont pas des mathématiciens. effectivement ce ne sont pas des mathématiciens. Et justement je parle en physicien et non en mathématicien( ce n'est pas mon métier).

je suis moi aussi physicien je te rappelle (même si mon approche est plus mathématique que la tienne). Mais c'est toi qui présente les vues de physiciens d'il y a près d'un quart de siècle comme devant être le point de vue valable sur des choses de maths... de mon côté, je me contente de te dire ce que tu trouves dans des centaines de livres... suffit de regarder "tensor" sur wikipedia pour lire

For component-based "classical" treatment of tensors, see Classical treatment of tensors. See Component-free treatment of tensors for a modern abstract treatment, and Intermediate treatment of tensors for an approach which bridges the two.

vas-tu continuer à nier malgré cela que l'approche moderne est celle géométrique qui est indépendante des bases et composantes ? pour rappel, les tenseurs je connais un peu grâce à la RG... et en RG il y a de plus la notion de background indépendance qui renforce le besoin d'apprendre à avoir une vision géométrique propre. Bref, tu veux vraiment que je perde mon temps à aller chercher 536 liens sur le web que tu aurais pu trouver toi-même si tu avais fait l'effort de chercher des cours propres et modernes ?

pour te faire gagner un peu de temps, je cite même la suite de l'article tensor :

(...) In differential geometry an intrinsic geometric statement may be described by a tensor field on a manifold, and then doesn't need to make reference to coordinates at all. The same is true in general relativity, of tensor fields describing a physical property. The component-free approach is also used heavily in abstract algebra and homological algebra, where tensors arise naturally. Note: This article, which is fairly abstract, requires an understanding of the tensor product of vector spaces without chosen bases. The notion of a tensor product generalizes to vector spaces without chosen bases, (...)

Encore heureux, mais ce n'est en aucune façon un autre aspect. La jonction entre les 2 aspects est très courte. D'un coté on fabrique un tenseur antisymétrique de rang 2. Celui définit automatiquement une algébre de Clifford pour une certaine forme quadratique.

c'est bon, j'ai compris : tu as raison.

Soit alors pose la question aux mathématiciens de Futura.

je te laisse le soin de leur demander la définition d'un vecteur

Cela coïncide pour les spineurs de rang2 mais ce n'est pas sûr du tout que cela soit vrai pour les spineurs de rang supérieur (question a examiner).

vas-y, examine tant que tu le veux, de toutes façons je sais qu'à la fin tu auras raison...

Tu répète cela sans arret, mais tu ne donnes aucun exemple qui montre que mon point de vue est restrictif.

y'a plusieurs raisons :

- quand on a un minimum de recul sur tout ça, on le comprends très bien car c'est exactement le même principe qui consiste à préférer écrire plutôt que F_x=m a_x ET F_y=ma_y ET F_z=m a_z

- parce que je suis certain que tu n'es jamais allé voir les divers liens que j'ai déjà donnés de nombreuses fois concernant l'algèbre extérieure... son utilisation montre pourtant la puissance d'une formulation indépendante des coordonnées et des bases (et je parle même pas de l'utilisation

- etc

Tu veux dire que tu peux définir une structure tensorielle sur des espaces autres que vectoriels. C'est çà que tu veux dire.

non

Comment définir une structure tensorielle sans référence à un espace vectoriel.

ça n'a aucun sens.

Aurais-je dit le contraire?

plus d'une fois tu as affirmé ici que la physique du solide permettait de comprendre toute la physique...

Par contre il est remarquable que toute référence à la physique du solide est quasiment inexistente.

où ?

Pourtant c'est un lieu privilégié pour manipuler à la fois les tenseurs et les spineurs

pas plus (ni moins) que la physique des hautes énergies...

ça va rincevent ?

très bien, merci

la notion de dimension d'un e.v est tributaire de la notion d'indépendance linaire (famille génératrice de l'e.v). Mais c'est vrai la notion d'e.v vient avant. Tout comme la notion d'ensemble vient avant de celle d'e.v.

exactement (bien qu'indépendance linéaire et famille génératrice ne soient pas la même chose mais plutôt des notions qui se complètent pour mener à celle de base)

[mariposa]

comme souvent quand tu refuses le dialogue et considères détenir LA Vérité

Bonjour,

Dans quelques lignes je vais te prouver que c'est excatement le contraire, celui qui n'écoute pas, c'est toi et en plus c'est flagrand. J'ai beaucoup écrit sur la question.

au risque de créer une certaine nostalgie/peine, laisse-moi t'informer que Landau est mort depuis 41 ans et Feynman depuis "seulement" 21 ans... ne crois-tu pas que la vision physique de certains concepts mathématiques a pu évoluer en 20 ans ? (pour ne retenir le cas le plus favorable à ton discours)...

Aucun doute là-dessus, mais le débat n'est pas là. Il serait plutôt du style faut-il un marteau pour écraser une mouche?

je suis moi aussi physicien je te rappelle (même si mon approche est plus mathématique que la tienne). Mais c'est toi qui présente les vues de physiciens d'il y a près d'un quart de siècle comme devant être le point de vue valable sur des choses de maths... de mon côté, je me contente de te dire ce que tu trouves dans des centaines de livres... suffit de regarder "tensor" sur wikipedia pour lire

On retrouve toute l'ambiguité de nos discussions qui peuvent apparaitre comme un dialogue de sourds.

1- J'ai toujours eu l'habitude t'utiliser le langage mathématique à la hauteur du problème posé. Autrement dit qu'en tant qu'ex moniteur de voile j'expliquais la composition des vitesses des vents sans faire référence à la notion d'espace vectoriel! Par contre pour des problèmes liés à l'effet Hall quantique fractionnaire il me faut m'investir dans de nouveaux chapitres mathématiques dont je parlerais ci-dessous.

Pour moi les mathématiques sont le langage de la physique et il n'est pas nécessaire de faire des phrases compliquées pour demander sa route.

vas-tu continuer à nier malgré cela que l'approche moderne est celle géométrique qui est indépendante des bases et composantes ? pour rappel, les tenseurs je connais un peu grâce à la RG... et en RG il y a de plus la notion de background indépendance qui renforce le besoin d'apprendre à avoir une vision géométrique propre. Bref, tu veux vraiment que je perde mon temps à aller chercher 536 liens sur le web que tu aurais pu trouver toi-même si tu avais fait l'effort de chercher des cours propres et modernes ?

J'en viens sur la question pour savoir celui qui est sourd.

J'ai écrit sur Futura n fois que la physique était devenue un immense exercice de géométrie et de topologie.

1- Pour illustrer cela j'ai expliqué n fois ce qu'était le programe d'Erlangen à savoir qu'une géométrie c'est un groupe oui ou non?

2- As-tu remarqué que j'insiste avec insistance sur le rôle fondamentale de laTRG en physique et pas seulement en MQ. autrement dit vive la géométrie. Oui ou non?

2- J'ai également expliqué plusieurs fois que les espaces Riemmannien qui avaient échappé à l'unification géométrique de Klein se sont retrouvés unifiés et généralisés sous la forme d'espaces fibrés, un très gros chapitre de géométrie différentielle. Oui ou non?

J'avais donné comme exemple non seulement la RG et les champs de jauge des particules élémentaires mais aussi les dislocations dans les solides. Sans oublier l'oeuvre fondamental de Landau concernant les transitions de phase qui montre que Landau faisait de la théorie des espaces fibrés sans la nommer. Cette vision théorique a entièrement bénéficiée à la physique des particules élémentaires. Est-ce de la géométrie? Oui ou non?

3- J'ai également à la plusieurs reprises fait mention des travaux en cours les plus avancées concernant la théorie des noeuds qui joue un grand role en théorie topologique des champs (le terrain de Witten), la LQG et la théorie de l'effet Hall quantique Fractionnaire. Autrement dit c'est le royaume des groupes de tresses, de l'équation de Yang-Baxter. Si tu regardais ces travaux tu verrais que les tenseurs ont encore un contenu beaucoup plus abstrait que peut-être tu t' imagines?.


Comme tu as l'air de prendre pour un cancre en mathématiques il m'arrive de lire des travaux de mathématiques modernes et notamment le livre dAtiyah: The geométry and physics of Knots.

Tu cites l'article : http://en.wikipedia.org/wiki/Compone...ent_of_tensors

En pensant me faire découvrir quelquechose, tu te moques de moi ou quoi?

1- Les tenseurs sont par essence des objets indépendants des representations justement parce qu'ils sont des vecteurs.

En fait la philosophie des tenseurs peut entièrement se comprendre sur la notion la plus lycéenne du produit scalaire:

Soit V.W le produit scalaire. Où sont les indices? Il n'y en a pas parceque le produit scalaire est un attribut collectif des 2 vecteurs. La théorie des tenseurs peut être comprise comme une très haute généralisation de cette propriété que tout le monde connait.

Qu l'on définisse un espace tangent, un produit extérieur, une dérivée covariante etc... tout cela c'est la même chose dans le sens ou l'on manipule des objets qui.... se transforment comme.....
Et bien entendu tous les objets ne se transforment pas de la même façon.

Quand on dit qu'un vecteur est covariant cela veut dire qu'il varie comme un autre vecteur par changement de base sans pour autant qu'il soit nécessaire de mentionner une base.

- quand on a un minimum de recul sur tout ça, on le comprends très bien car c'est exactement le même principe qui consiste à préférer écrire plutôt que F_x=m a_x ET F_y=ma_y ET F_z=m a_z

Encore tout récemment j'ai expliqué sur cet exemple la philosophie des tenseurs

Quand on écrit m.dv/dt = F

J'ai expliqué que du point de vue de l'analyse tensorielle il faudrait écrire:

m.d/dt.v = F

m est un scalaire, d/dt est un scalaire donc v doit se transformer comme F et ce sans mentionner la base.

C'est sur cet exemple que j'ai montré le rapport qu'il y a entre la physique et les maths. Reste à compléter par la remarque que les transformations (translations spatiales et rotations) dont je parle forment un groupe et c'est ainsi que je montre que tenseurs, théorie des groupes (TRG) et lois physiques forment un tout que personne n'enseigne tel que.

- parce que je suis certain que tu n'es jamais allé voir les divers liens que j'ai déjà donnés de nombreuses fois concernant l'algèbre extérieure... son utilisation montre pourtant la puissance d'une formulation indépendante des coordonnées et des bases (et je parle même pas de l'utilisation

Bien sûr que si que j'ai regardé tes liens. tu donnes l'exemple du calcul extérieur (au demeurant un petit sous-ensemble des algébres de Clifford). Seulement tu postules que ceci m'est complétement étranger. En gros je lie les travaux d 'Atyhah mais j'ignore tout du calcul extérieur). En fait philosophiquement il s'agit d'exploiter tout ce que l'on peut tirer de l'antisymétrie. C'est donc en particularisant les tenseurs que l'on obtiend des propriétés nouvelles. Néanmoins la philosophie la plus basique des tenseurs est toujours présente.

plus d'une fois tu as affirmé ici que la physique du solide permettait de comprendre toute la physique...

Cela m'étonnerait d'avoir écrit cela. Par contre j'essaie toujours de voir la contre partie de la physique des particules élémentaires en termes de physique du solide. (voir toutes les discussions fumeuses sur les particules virtuelles). De même j'essaie de voir qu'elle doit être la contrepartie de la physique du solide en physique classique. J'essaie même de trouver des métaphores humaines quand c'est possible. Je pense que c'est çà en partie la pédagogie, faire des rapprochements entre des choses afin que l'une éclaircisse l'autre.

Apres t'avoir répondu il va falloir que je propose une solution claire simple et accessible à la question posée.

[invité576543]

c'est excatement le contraire, celui qui n'écoute pas, c'est toi et en plus c'est flagrand.

Avis indépendant : la surdité n'est pas du côté de Rincevent.

Et c'est flagrant.

Cordialement,

[invité576543]

1- Les tenseurs sont par essence des objets indépendants des representations justement parce qu'ils sont des vecteurs.

Cela ne veut rien dire. "Etre un vecteur" veut juste dire "appartenir à un espace ayant une certaine structure". Cela ne contient aucune information sur la notion de représentation.

L'indépendance d'un objet par rapport à ses représentations est tautologique, c'est contenu dans le mot "représentation".

En fait la philosophie des tenseurs peut entièrement se comprendre sur la notion la plus lycéenne du produit scalaire:

Totalement faux, principalement parce que le produit scalaire est présenté au lycée comme un algorithme de calcul. La "philosophie des tenseurs" permet de (et oblige à) s'élever au-dessus de cela, par exemple en distinguant et qui se calculent selon le même algorithme une fois les bases choisies pour cela.

Soit V.W le produit scalaire. Où sont les indices? Il n'y en a pas parceque le produit scalaire est un attribut collectif des 2 vecteurs.

Incorrect. Le produit scalaire n'est pas défini a priori. Il n'y a pas UN produit scalaire, mais une infinité. Du coup, cela ne peut pas être un "un attribut collectif de deux vecteurs", puisque cela peut être n'importe quoi ou presque.

La théorie des tenseurs peut être comprise comme une très haute généralisation de cette propriété que tout le monde connait.

On est mal barré pour comprendre les tenseurs en partant comme ça.

d/dt est un scalaire

Un scalaire est un élément du corps. Rien d'autre.

(On voit d'ailleurs là la confusion que peut amener la vision consistant à ne regarder que les changements de base. On en vient à confondre le corps (dont l'existence et la pertinence sont impliqués par la notion même d'espace vectoriel) et un opérateur.)

Suffisait de dire "se comporte comme un scalaire lors d'un changement de base". Mais cela aurait été contraire à cette idée restrictive que "le comportement lors d'un changement de base définit les notions de scalaires, vecteurs, tenseurs, etc.".

Cordialement,

[invite5a89bfe6]

Cela ne veut rien dire. "Etre un vecteur" veut juste dire "appartenir à un espace ayant une certaine structure". Cela ne contient aucune information sur la notion de représentation.

L'indépendance d'un objet par rapport à ses représentations est tautologique, c'est contenu dans le mot "représentation".



Totalement faux, principalement parce que le produit scalaire est présenté au lycée comme un algorithme de calcul. La "philosophie des tenseurs" permet de (et oblige à) s'élever au-dessus de cela, par exemple en distinguant et qui se calculent selon le même algorithme une fois les bases choisies pour cela.



Incorrect. Le produit scalaire n'est pas défini a priori. Il n'y a pas UN produit scalaire, mais une infinité. Du coup, cela ne peut pas être un "un attribut collectif de deux vecteurs", puisque cela peut être n'importe quoi ou presque.



On est mal barré pour comprendre les tenseurs en partant comme ça.



Un scalaire est un élément du corps. Rien d'autre.

(On voit d'ailleurs là la confusion que peut amener la vision consistant à ne regarder que les changements de base. On en vient à confondre le corps (dont l'existence et la pertinence sont impliqués par la notion même d'espace vectoriel) et un opérateur.)

Suffisait de dire "se comporte comme un scalaire lors d'un changement de base". Mais cela aurait été contraire à cette idée restrictive que "le comportement lors d'un changement de base définit les notions de scalaires, vecteurs, tenseurs, etc.".

Cordialement,

salut michel,

En effet le produit scalaire dépend du type de corps sur lequel est défini l'e.v . Il est défini par certaines propriétés. On distingue produit scalaire réel et hermitien, par exemple. Il y a deux grandes manières de présenter les produit scalaire, algébrique (produit de deux élément d'un e.v) et géométrique à l'aide de vecteurs (bipoints).

[chaverondier]

J'en viens sur la question pour savoir celui qui est sourd.

Deuxième avis indépendant. De façon plus nuancée, la certitude que tu as d'avoir systématiquement raison est souvent réglée à un niveau très élevé chez toi et ça rend la discussion parfois difficile.

Sinon, de façon plus constructive, pour en revenir au sujet du présent fil, je suis d'accord tant avec Michel qu'avec Rincevent sur le fait que mettre l'accent sur l'aspect comportement des tenseurs ou spineurs lors d'un changement de système de coordonnées présente l'inconvénient de ne pas faire ressortir les aspects géométriques purs (associés aux structures mathématiques sous-jacentes modélisant intrinsèquement les propriétés physiques).

Ces aspects géométriques se définissent indépendamment de considérations de bases et de systèmes de coordonnées car ils reposent sur des structures mathématiques telles que les structures de groupe (point que tu rappelles d'ailleurs souvent dans tes messages) les feuilletages, les structures d'algèbre, les structures de fibrés, celles de connexion, etc, etc...

Ce point est particulièrement vrai pour l'équation de Dirac. Le souhait de conserver des matrices gamma constantes (lors d'un changement de référentiel inertiel) conduit à attribuer un rôle fondamental aux fameuses transformations spinorielles découlant de ce choix arbitraire.

En effet (si j'ai bien compris le point de vue M.ARMINJON dans son étude de l'établissement de l'équation de Lorentz en présence d'un champ gravitationnel) ce qu'il faut c'est exprimer l'invariance de l'équation de Dirac lors des changements de référentiel inertiel et non pas l'invariance des seules matrices gamma. Vouloir garder ces matrices invariantes revient à les interpréter comme des objets géométriques purs.

En effet, un objet géométrique est une grandeur invariante sous l'action d'un groupe de symétrie. C'est le cas, par exemple, de la durée propre ou de la distance propre qui sépare deux évènements en RR. Il s'agit bien là d'une grandeur géométrique, donc physiquement objective (car invariante par action du groupe de Poincaré, donc indépendante de l'observateur contrairement à la distance ou à la durée impropres séparant deux évènements, grandeurs non géométriques car dépendant d'un choix particulier de système de coordonnées).

Interpréter les matrices gamma de l'équation de Dirac comme des objets géométriques conduit à attribuer à la fonction d'onde de l'électron un comportement complexe (les fameuses transformations spinorielles au lieu de simples transformations quadri-vectorielles de Lorentz) lors d'un changement de référentiel inertiel. Ce choix nuit à un passage à l'équation de Dirac en présence d'un champ gavitationnel respectueux des aspects géométriques modélisant les symétries de la physique. Il conduit à des problèmes de non unicité signalés par M.ARMINJON et résolus (me semble-t-il) par son approche plus physique de l'établissement de cette équation.

Cela dit, je ne voudrais pas porter tort à M.ARMINJON en déformant son point de vue pour cause d'une interprétation erronnée de son travail. Je le signale donc ci-dessous pour éliminer ce risque. Dirac equation from the Hamiltonian and the case with a gravitational field
Authors: Mayeul Arminjon Journal reference: Found.Phys.Lett.19:225-247,2006
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0512046

[invité576543]

En effet le produit scalaire dépend du type de corps sur lequel est défini l'e.v .

Oui, mais ce n'est pas cela à ce que je faisais allusion. UN produit scalaire, c'est une forme bilinéaire symétrique définie positive quelconque. Donc pas unique.

Et choisir une base (e_i) peut être vu comme un moyen de choisir le produit scalaire : en définissant "le" produit scalaire comme celui (il n'y en a qu'un) pour lequel la base est orthonormée. (Simplement parce qu'en disant "orthonormée" on indique l'image de tous les couples (e_i, e_j))

Cordialement,

[invité576543]

Et choisir une base (e_i) peut être vu comme un moyen de choisir le produit scalaire

En incise, cette propriété permet de comprendre certaines démonstrations très lapidaires en géométrie euclidienne : par exemple, les trois médianes d'un triangle non dégénéré sont concourantes et se coupe au tiers puisque c'est le cas du triangle équilatéral...

(la notion de concurrence et les rapports de distance sur une même droite sont conservés par un changement de base, et on peut choisir comme base orthonormée celle qui rend le triangle équilatéral pour peu qu'il ne soit pas dégénéré.)

Cordialement,

[mariposa]

apres une apres-midi au soleil breton j'en viens à répondre au statut respectif des tenseurs et des spineurs le plus simplement possible.

On part d'un espace vectoriel a 2 dimensions (je ne précise pas au départ le corps). Soit E et F 2 vecteurs quelconques de cet espace. Je défini une forme bilinéaire spécifique sur cet espace sous la forme suivante. soit:

E1.F2 - E2.F1

cette forme.

A quelle condition cette forme est-elle invariante sous une transformation linéaire A quelconque?

Le calcul montre que l'on doit avoir det. A = 1

Autrement dit A appartient à SL(2,C) ce qui signifie que le corps est celui des complexes.

Si en plus si on contraint les vecteurs à conserver une norme alors les matrices A sont tels que (A-1) = A* (la matrice inverse est égale à la matrice transposée conjuguée).

Dans ce cas les matrices A forment le groupe SU(2) et donc un vecteur E qui est un tenseur de rang 1 qui engendre le groupe SU(2). On peut dire que le groupe se represente lui-même.

Ce tenseur très particulier de rang 1 nous allons l'appeler spineur pour des raisons qui vont apparaitre ci-dessous.

Formons désormais le produit tensoriel des 2 vecteurs E et F. Cela donne un espace vectoriel de dimension 4.

Comme tout tenseur on peut décomposer celui-ci en 1 composante symétrique et une composante antisymétrique. A l'évidence on a un sous-espace invariant de dimension 1 qui est le tenseur antisymétrique et un sous-espace de dimension 3 qui est le tenseur symétrique.

Remarque importante:

Ce qu'il y a de remarquable est que la composante invariante soit un tenseur antisymétrique alors que usuellement c'est le sous-espace qui dérive de la trace extraite du tenseur symétrique qui donne le tenseur invariant cad le tenseur de rang 0.

Pourquoi cette situation à contrario de ce qui est usuel?

il est facile de remarquer que le nombres de composantes d'un tenseur antisymétrique est toujours inférieure à celle du tenseur symétrique associé dans la décomposition. Lorsque l'on a un espace de dimension 2 il se fait que la partie antisymétrique est unidimensionnelle tout en étant de trace invariante puisqu'elle est nulle par construction. Tout cela est logique mais inatendue.

On notera que cette démonstration purement tensorielle fait apparaitre ce qui est connue physiquement comme le couplage de 2 spins 1/2 en MQ selon la régle de couplage des moments cinétiques j1 et j2 bien connues qui donnent des representations irréductibles allant de |j1-j2| à |j1 + j2|.

Jusqu'a maintenant seul le groupe SU(2) a été introduit. On sait par ailleurs que l'on peut établir un isomorphisme ente le groupe de rotations SO(3) et SU(2). Cela découle du fait que 3 paramètres sont nécessaires pour representer SU(2) cad la même chose que les 3 composantes x,y,z du groupe SO(3)

Selon la démonstration ci-dessus on peut sans calcul montrer que la representation est bivaluée pour les dimensions paires.

En effet un tenseur de rang 2 sur SO(3) se transforme comme 2 fois un tenseur de rang 1 sur SO(3). Hors nous avons montré que ce tenseur de rang 1 de SO(3) est lui même un spineur symétrique de rang 2. Donc le spineur de rang 1 se tranforme moitié moins vite que le tenseur de rang 1. Ce qui veut dire qu'il faut effectuer une rotation de 4 Pi dans la base du spineur de rang 1 pour recouvrir le comportement du tenseur de rang 1 dans une rotation 2.Pi.

En résumé: Tout ceci explique pourquoi un spineur est un cas particulier des tenseurs et que ce cas particulier émerge de la dimension 2 de l'espace de base.

Pourquoi y a-t-il souvent confusion?

Dans les livres de maths de physique générale et même dans les livres de la RG les tenseurs sont introduits sur le corps des réels cad que les groupes de transformations sont GL(n,R)

Dans les cours de MQ dans le fondements axiomatiques on travaille sur le corps des complexes cad des transformation de GL(n,C). En fait avec la condition d'unitarité c'est le sous-groupe U(n) qui represente les transformations.

Quand on étudie le groupe de transformation SO(3) on démontre que son algébre de Lie c'est su(2). Cela indique immédiatement que la representation fondamentale de ce groupe SO(3) est un espace de deux dimensions généré par le tenseur particulier que l'on appelle spineur. Toutes les representions irréductibles en découlent. en fait j'ai introduit 3 representations irréductibles d'un coup.

C'est donc de la bouillie que de croire que les tenseurs ne permettent d'atteindre que la moitié des representions irréductibles de SO(3). Cela repose sur une compréhension éronnée du concept de spineur.

Enfin un petit mot sur l'algébre de Clifford.

Celle-ci est définit par la relation:

(e1)V(e2) + (e2)V(e1) = 2 (e1,e2). I

Le + c'est l'addition usuelle des vecteurs

e V c'est une loi de composition indéfinie.

En pratique on sera concerné par les representations des algébres de Clifford et donc la loi V sera celle de la multiplication des matrices.

Les tenseurs que j'ai présentée predemment était implicitement des tenseurs contravariants. En contruisant des tenseurs covariants par une métrique (voir Landau MQ) on trouve pour la forme bilinéaire que j'ai introduite une expression analogue à la relation de Clifford précedente pour une forme bilinéaire nulle.

C'est ainsi que le spin se trouve "entrainé" dans 2 algébres différentes: L'algébre de Lie et l'algébre de Clifford. Comme l'algébre de Clifford est par construction de dimension supérieure à l'espace vectoriel générateur et donc à celui de l'algébre de Lie. Alors l'ensemble de l'espace de Clifford engendrera une grosse representation réductible que l'on décomposera en representations irréductibles de l'algébre de Lie.