spineurs et tenseurs

[quantum9]

Je voudrais attirer l'attention des honorables intervenants que mon intention en intervenant à nouveau sur le sujet des spineurs n'était nullement de provoquer une querelle historique, fut-elle amicale.
Ce que je souhaite, c'est :

1/ Attirer l'attention sur "l'algèbre géométrique" qui est une façon toute nouvelle, bien que son origine remonte à 150 ans, de pratiquer l'algèbre de Clifford. L'initiation la plus rapide est obtenue en lisant la "medal Oersted lecture" de Hestenes. (Attention, ne pas confondre avec la géométrie algébrique, qui est un tout autre domaine mathématique).

2/ Soumettre l'idée que du moins en ce qui concerne les spineurs utilisés en mécanique quantique, la GA (geometric algebra) permet de les caractériser et de les expliquer d'une manière incomparablement plus simple qu'avec les méthodes standard, c'est à dire celles qui ont été définies initialement par Pauli et Dirac, puis développées par beaucoup d'autres.

Les opposants à cette idée sont malheureusement nombreux : la plupart des algébristes spécialistes des algèbres de Clifford d'une part, la plupart des physiciens théoriciens d'autre part. Mais l'excursion en algèbre géométrique vaut la peine d'être entreprise.
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[invite8ef897e4]

Avez-vous la référence d'Ehrenfest ?

Non, je l'ai cherchee sur internet mais je ne l'ai pas trouvee. Wikipedia cite le bouquin de Tomanaga que j'ai a la maison, je devrais donc pouvoir trouver ce soir.

Je me référais à son petit livre publié en 1938 chez Hermann, où il reprend l'essentiel de ses travaux des années 1910. D'où mon extrapolation, hâtive d'après vous.

J'ai sans doute pinaille, sur le fond je suis d'accord que le bouquin de Cartan est l'un des meilleurs sur le sujet, comme tout ce qu'a ecrit Cartan d'ailleurs.

Peut etre aurai-je le temps de dire des choses plus consequentes sur le papier Numdam plus tard.

[mariposa]

Je voudrais attirer l'attention des honorables intervenants que mon intention en intervenant à nouveau sur le sujet des spineurs n'était nullement de provoquer une querelle historique, fut-elle amicale.
Ce que je souhaite, c'est :

1/ Attirer l'attention sur "l'algèbre géométrique" qui est une façon toute nouvelle, bien que son origine remonte à 150 ans, de pratiquer l'algèbre de Clifford. L'initiation la plus rapide est obtenue en lisant la "medal Oersted lecture" de Hestenes. (Attention, ne pas confondre avec la géométrie algébrique, qui est un tout autre domaine mathématique).

2/ Soumettre l'idée que du moins en ce qui concerne les spineurs utilisés en mécanique quantique, la GA (geometric algebra) permet de les caractériser et de les expliquer d'une manière incomparablement plus simple qu'avec les méthodes standard, c'est à dire celles qui ont été définies initialement par Pauli et Dirac, puis développées par beaucoup d'autres.

Les opposants à cette idée sont malheureusement nombreux : la plupart des algébristes spécialistes des algèbres de Clifford d'une part, la plupart des physiciens théoriciens d'autre part. Mais l'excursion en algèbre géométrique vaut la peine d'être entreprise.

Bonjour,

Voici quelques observations après un vagabondage littéraire:

1- Il est vrai que la plupart des physiciens théoriciens n'utilisent pas la systématique mathématique de la géométrie algébrique.

2- La géométrie algébrique et l'algébre de Clifford, c'est la même chose. Historiquement c'est Clifford qui a développé ce qu'il a appelé lui-même géométrie algébrique. Il s'agissait à l'époque de généraliser en dimension supérieure le rapport entre nombre complexe et géométrie du plan. Ce sont ses successeurs qui ont appelés algébre de Clifford ce que Clifford a appelé géométrie algébrique. C'est Hestenes qui a réhabilité l'expression géométrie algébrique.

3- Les physiciens parlent volontiers d'algèbre de Clifford car le plus souvent ils utilisent des représentations matricielles des algèbres de Clifford et donc les aspects géométriques sont un peu perdus. Néanmoins cela peut s'expliquer si l'on note qu'en physique un multivecteur de la géométrie algébrique c'est également un opérateur. Ceci oblige à un moment de manipuler des représentations matricielles des multivecteurs.

4- J'ai argumenté sur Futura que le spin était ni d'origine quantique, ni d'origine relativiste. Mon argument est simple dans le sens ou il s'agit d'une représentation irréductible de SO(3) ce qui ne renvoie pas à la RR. Ce genre de démonstration ne peut convaincre que ceux familiers des groupes. Par contre l'introduction du spin dans le contexte de la géométrie algébrique est plus radicale. En contre-partie cela demande un investissement car le concept de rotateur (traduction personnelle de rotor) n'a rien d'immédiat.

5- En bref je souscris à ta remarque que "l'excursion en algébre géométrique vaut la peine d'être entreprise".

[Rincevent]

salut,

remarque rapide en passant :

Wikipedia cite le bouquin de Tomanaga que j'ai a la maison, je devrais donc pouvoir trouver ce soir.

je n'y ai pas trouvé de réf précise à Ehrenfest... il y est juste dit qu'il a inventé le nom... mais dans mes souvenirs, et c'est aussi ce qu'on lit dans ce papier de Trautman, c'est van der Waerden qui a raconté qu'Ehrenfest avait proposé ce nom à l'époque où il lui avait aussi demandé s'il ne voulait pas se pencher sur une étude mathématique propre et systématique de ces objets...

[quantum9]

Bonjour Mariposa,

Merci de ta réponse rapide.

1/ Excuse moi de te reprendre sur un point linguistique, mais ce serait dommage d'induire en erreur certains lecteurs. Le terme que Hestenes a repris en hommage à Clifford est "geometric algebra " que j'ai pris la mauvaise habitude de raccourcir même dans mes textes français par "GA", mais dont la traduction correcte est "algèbre géométrique".

2/ Je maintiens que ce serait une grave erreur de confondre ce chapitre des mathématiques avec la "géométrie algébrique", sujet dans lequel ce sont illustrés nombre de mathématiciens Français. Un rapide survol d'Internet devrait te convaincre.

3/Je ne suis pas d'accord sur le fait de dire "la GA et l'algèbre de Clifford c'est la même chose". Certes il s'agit de deux représentations parfaitement isomorphes de la même algèbre, ce qui est rassurant, mais l'identité s'arrête là. La GA hestenienne se présente comme un outil universel susceptible de se substituer même en physique classique à la quasi-totalité des outils existants. En physique quantique il y a un véritable bouleversement des concepts et de certaines interprétations ; par exemple petits détails : disparition des nombres complexes et corrélativement de l'espace de Hilbert. Ceci explique d'ailleurs l'aveuglement volontaire de la plupart des physiciens concernés.

4/ Il n'est nullement obligatoire lorsque l'on utilise la GA d'en arriver tôt ou tard à utiliser des représentations matricielles des multivecteurs. Il est vrai que même de grands esprits n'arrivent pas à accepter l'idée de mettre un signe plus entre un scalaire et un bivecteur; c'est pourtant ce qu'ils font sans scrupules en utilisant les nombres complexes !

5/D'accord sur le fait que la notion de spin n'est pas relativiste, et que la notion de spineur n'est pas quantique.

Cordialement.

[invite8ef897e4]

Bonjour,

ce papier de Trautman, c'est van der Waerden qui a raconté qu'Ehrenfest avait proposé ce nom à l'époque où il lui avait aussi demandé s'il ne voulait pas se pencher sur une étude mathématique propre et systématique de ces objets...

Donc pour remettre en cause l'attribution du terme spineur a Ehrenfest, il est necessaire de fournir une reference anterieure a 1929 qui ne fait pas reference a Ehrenfest.

Bref... merci pour la reference. Je n'ai pas trouve non plus dans le bouquin de Tomanaga.