Si on fait abstraction de la partie polémique, il me semble que le message que véhicule ce fil est que si on veut comprendre toute la substance des "êtres" physiques (energie-impulsion par exemple) il faut s'intéresser aux propriétés intrinsèques des "êtres" mathématiques (tenseur, vecteur, géométrie différentielle ...) qui servent à les représenter et non aux propriétés de leurs composantes relativement à une base.Envoyé par Astérion
Patrick
Certainement. Mais cela n'est en rien un élément de ce fil, c'est tout simplement une idée générale que l'on apprend sans le dire explicitement dès la 3ème.
Par exemple on attribut au vent un vecteur vitesse. Ce vecteur vitesse a une infinité de représentations (autant qu'il y a de bases). Néanmoins le vecteur vitesse est indépendant de toute représentation. La vitesse du vent est une notion intrinsèque.
les tenseurs (et les spineurs) sont également des vecteurs et donc présente une caractéristique intrinsèque. Néanmoins pour distinguer un type de tenseur d'un autre il faut étudier le comportement de leurs composantes lors d'un changement de base.
Il est facile de comprendre que l'on peut établir des opérations entre vecteurs tenseurs etc.. En effectuant des constructions à partir de leurs représentations.
Par exemple le produit scalaire du lycée V.W a un caractère intrinsèque mais préalablement défini par les composantes.
Si je définit le produit tensoriel par V*W ceci a un caractère intrinsèque, encore faut-il avoir préalablement définit ce qu'était un produit tensoriel dans le langage des composantes.
Quiconque examine la "réponse" avec quelques connaissances (incomplètes) sur le sujet (c'est mon cas) tombe dans un abime de perplexité à la vue d'une série de "bizarreries" (litote). Quand j'ai lu le message #60, je n'ai pas attendu la réponse de Rincevent pour conclure qu'il n'était pas "juste" (re litote) : les bras m'en sont tombés, et je me suis interrogé sur le mystère profond des motivations humaines : pourquoi un tel message a été écrit?
Oui et non. Des explications sérieuses et rigoureuses, il y en a dans divers textes didactiques, à trouver sur le Web ou bibliothèques. Chacun est criticable peut-être, a ses défauts certainement, mais en en lisant plusieurs et avec un peu de travail, chaque personne peut se faire SON idée. SON idée parce que chaque manière de penser est unique, et l'assimilation d'un nouveau concept prend des chemins très différents d'une personne à l'autre.serait beaucoup pertinent et efficace avant même de critiquer "MA" proposition (ce qui n'a d'ailleurs pas été faite) de proposer une explication alternative.
L'intérêt d'un forum comme celui-ci est que les participants avec des visions différentes s'épaulent les uns les autres, posant ou répondant à des questions éclairant tel ou tel point, en acceptant les différences de mode de pensée. (Heureusement, c'est souvent le cas.)
Mais la présence d'une personne voulant imposer sa manière de voir et entrant dans des polémiques stériles "c'est-moi-qui-ai-raison-pas-toi", dont ce fil est un magnifique exemple, interdit ce genre d'échanges coopératifs
Ce fil est bien plus dommageable au sujet et au forum que le fait que ce soit une polémique, ou que la quantité d"erreurs" et "manques de justesse" qui y traînent (et dont beaucoup n'ont pas été signalés).
En effet ce fil est propre à refroidir qui que soit intéressé par le sujet et y comprenant un peu mais pas tout d'entrer dans des échanges coopératifs avec d'autres pour s'aider mutuellement à progresser.
On peut être d'accord avec le souhait.Je souhaite que Rincevent, ou d'autres, écrive une explication élaborée et pedagogique qui ne dépasse pas une page.
Mais ce qui s'est passé sur ce fil est exactement ce qu'il fallait faire en vue d'empêcher sa réalisation. Qui voudra proposer un texte que mariposa s'empressera de comparer avec son approche avec des kilos d'arguments de basse rhétorique pour montrer que mariposa-a-raison ?
Je suis malheureusement bien d'accord avec cela.Je pense que cela intéresserait beaucoup de gens de voir des explications différentes sur la question "comparative" entre tenseurs et spineurs.
Il est dommage pour le forum que des obstacles aient été posés qui diminuent la probabilité que cela advienne.
Cordialement,
Dernière modification par invité576543 ; 30/06/2009 à 07h44.
Bonjour,
Pour éviter de polémiquer à l'infini du contenu et de la forme des interventions des uns et des autres je réitère le souhait que Rincevent ou d'autres propose un texte concis sur le thème de la comparaison tenseurs/spineurs.
Par ailleurs j'attends toujours ne serait-ce qu'un soufle de critique de "MON" explication. En effet je la reprendrai ultérieurement avec moins d'improvisation. c'est selon moi la plus courte démonstration que l'on puisse trouver pour expliquer et encadrer les spineurs par les tenseurs.
Je suis vivement intéressé par quiconque qui me trouvera une explication alternative à la "mienne".
J'attends vivement les interventions de Rincevent.
Pour les raisons exposées par Michel je me garde bien de mon côté d'intervenir sur le fond du sujet pour apporter mon point de vue ou demander un éclairage quelconque. Pourtant je suis de ceux que le sujet intéresse car je n'ai pas eu encore le temps de le creuser à fond pour m'en approprier les concepts. En principe je devrais donc suivre les développements de ce sujet mais il se trouve que je n'y prête aucune attention. En effet, il me semble qu'il y a là beaucoup plus d'intérêt pour la représentation personnelle des concepts et sa défense bec et ongles que pour le souci de communiquer, partager et échanger à propos de notions qui n'appartiennent à personne. De surcroît je n'ai jamais vu l'ombre d'une démonstation digne de ce nom ni d'une présentation mathématique rigoureuse du problème à aborder, ceci depuis sa définition jusqu'à sa conclusion. Mettre des CQFD partout ne suffit pas. Il convient au minimum de poser des définitions, poser un contexte logique, s'appuyer sur des propriétés parfaitement définies que l'on peut par ailleurs démontrer en indiquant précisément quelles sont-elles et dans quel cadre elles peuvent être démontrées, etc.... etc... bref une démonstration mathématique rigoureuse. Comme je l'ai déjà indiqué un tel sondage est un non-sens car il ne peut y avoir qu'une seule réponse possible à une demande d'ordre purement mathématique. Ce qui peut être différent et discuté est l'élégance de la conduite du raisonnement, mais cela relève déjà de considérations subjectives. La création de ce sondage est donc déjà en elle-même de nature polémique.
Bonjour,
En partant sur une base strictement mathématique le seul fait de définir un spineur à partir d'une forme bilinéaire particulière fondement même des tenseurs de rang2 tel que présentée dans tous les cours de maths alors le spineur est automatiquement un tenseur particulier. Ceci est rigoureux et en plus élémentaire puisque presque une simple conséquence d'une définition d'un tenseur particulier.
Donc la réponse était unique et la démonstration prend 3 lignes.
En fait le spineur ainsi définit est un 3-spineur. Il faudrait définir des n-spineurs. De ce point de vue il sera plus efficace de se placer dans la filiation de l'algèbre de Clifford.
Par ailleurs j'observe que personne n'a jusqu'à maintenant proposé d'alternatives. Autrement dit la critique est facile mais l'art est difficile.
En fait l'intervention de Septikos et la citation initial du wiki par Michel montre que la compréhension des spineurs et des tenseurs est vraiment problématique.
[QUOTE=mariposa;2431413]Bonjour,
En partant sur une base strictement mathématique le seul fait de définir un spineur à partir d'une forme bilinéaire particulière fondement même des tenseurs de rang2 tel que présentée dans tous les cours de maths alors le spineur est automatiquement un tenseur particulier. Ceci est rigoureux et en plus élémentaire puisque presque une simple conséquence d'une définition d'un tenseur particulier.
Donc la réponse était unique et la démonstration prend 3 lignes.
En fait le spineur ainsi définit est un 3-spineur. Il faudrait définir des n-spineurs. De ce point de vue il sera plus efficace de se placer dans la filiation de l'algèbre de Clifford.
Par ailleurs j'observe que personne n'a jusqu'à maintenant proposé d'alternatives. Autrement dit la critique est facile mais l'art est difficile.
En fait l'intervention de Septikos et la citation initial du wiki par Michel montre que la compréhension des spineurs et des tenseurs est vraiment problématique.
Re : spineurs et tenseurs
Je ne sais pas si cela a encore un sens de participer à ce débat 4 mois après son arrêt, mais je voudrais néanmoins signaler que la signification des spineurs est singulièrement facilitée par l'utilisation de "l'algèbre géométrique", c'est à dire une algèbre de Clifford telle qu'elle a été rajeunie par David Hestenes, puis par d'autres notamment à Cambridge.
Il apparaît alors qu'un spineur est un être mathématique sans mystère, c'est à dire soit en R^3 soit en espace de Minkovski, un multivecteur pair, ce qui montre immédiatement qu'il ne peut s'identifier ni avec un vecteur, ni avec un tenseur.
Cette nouvelle représentation a des implications profondes en mécanique quantique, en particulier sur la notion de spin, qui retrouve sa place dans R^3 ou M^4, sans qu'il y ait lieu de faire intervenir un mystérieux espace abstrait de spin.
Mouais. On peut avoir un point de vue plus physique sur la question. La notion de spineur (et l'étrange comportement des spins 1/2 entier) émerge de l'équation de Dirac. Or on peut avoir une façon un peu différente de la présentation historique d'établir cette équation, et ce d'autant plus que cette nouvelle proposition amène la généralisation de l'équation de Dirac en présence d'un champ gravitationnel d'une façon plus satisfaisante que la méthode habituellement proposée pour établir cette généralisation (unicité de la solution obtenue grâce à la méthode proposée par M.ARMINJON). Cf le travail de Mayeul Arminjon sur ce sujet (publié dans la revue à comité de lecture Foundation of Physics)
Dirac equation from the Hamiltonian and the case with a gravitational field,
Journal reference: Found.Phys.Lett.19:225-247,2006
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0512046
Dirac-type equations in a gravitational field, with vector wave function
Journal reference: Found.Phys.38:1020-1045,2008
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0702048
Je vous remercie d'avoir attiré mon attention sur les travaux de M.Arminjon qui, pour autant que je sois apte à en juger me semblent fort intéressants.
Mais mon objet était plus limité. Je souhaitais simplement attirer l'attention sur un outil mathématique peu ou mal connu, dont l'utilisation permet de mettre en évidence ce qu'est un spineur par des moyens élémentaires -- à condition d'accepter d'apprendre un peu de GA (geometric algebra).
Je vous signale le texte suivant de Hestenes que vous pouvez trouver sur Internet "Vectors,spinors, and complex numbers in classical and quantum physics." ( modelingnts.la.asu.edu/pdf.../VeSp&ComUpdated )
Bonjour,
je fais une réponse rapide.
En fait l'introduction classique du spin en MQ et des spineurs en général fait référence sans le dire à l'algébre de Clifford.
en guise d'explication rapide et sur un exemple.
On construit l'algébre de Clifford Cl3 sur R3 on introduisant une régle de multiplication entre vecteurs (en la définissant sur les vecteurs de bases) ce qui donne un espace de dimension 8 clos pour l'addition et la multiplication des vecteurs. Cette propriété s'apprête tout naturellement à une représentation matricielle.
Si on utilise l'isomorphisme naturel entre espaces vectoriels de même dimension on peut identifier les 3 vecteurs de base de R3 {e1, e2, e3} et les 3 matrices de Pauli {s1, s2, s3} de dimension 2.
les changement de bases dans R3 engendrent une représentation de dimension 3 de SO(3) vont correspondre a des matrices de changement de base dans l'espace des matrices 2*2 ce qui engendre le groupe SU(2). On a donc une représentation de dimension 2 engendrée par des vecteurs a 2 composantes que l'on appelle spineurs
Le lien entre algébre de Clifford et représentations irréductibles de SO(3) apparait logiquement.
en effet on construit les représentations irréductibles de SO(3) en formant tous les tenseurs et en décomposant ceux-ci en sous-espaces invariants sous les groupes de permutation Sn.
les produits de Clifford correspondent (grâce à l'isomorphisme précédents) donc aux produits tensoriels des spineurs construits a partir du spineur élémentaires.
on note au passage que l'on peut construire tous les tenseurs à partir des spineurs, mais pas le contraire. (cela résulte de l'homomorphisme SU(2) vers SO(3). c'est pourquoi le spineur fondamental est en quelque sorte "l'atome" tensoriel.
Bonsoir Mariposa,
Je ne vois rien à redire à votre exposé.
Ceci étant votre définition est bien plus abstraite (nombres complexes, espace spinoriel, ...) que celle qui apparaît en GA. De plus en GA le lien avec la physique classique est bien plus facile; la notion de spineur n'est plus spécifiquement quantique.
bjr, j'ai eu du mal à tout comprendre d'où ma question.
qu'est ce qu'un tenseur ? mais dit simplement ou tout au moins le plus simplement possible .
merci
Bonjour .
J'ai bien une expliation tirée d'un pdf sur la relativité qui peut convenir :
Il faut voir un tenseur comme une fonction capable de transformer
des vecteurs en un ensemble de vecteurs ou en un nombre.
Pour plus de détails , j'aurais bien une référence qui explique cela de facon vulgarisée :
il s'agit du fichier pdf suivant : " Mais ou est donc passee la relativite generale ? "
de Pascal Picard
A la page 153 , on commence à voir ce qu'est un tenseur , et il y a tout un chapitre dessus .
un tenseur ça ressemble à une matrice.
par exemple ds l'espace de minkowski on passe des coordonnées (x,y,z,ct) à (x',y',z',ct') par une matrice
en physique du solide il existe le tenseur des contraintes
alors c quoi la différence ?
merci
Bonjour,
On va essayer de faire simple.
Je suppose que tu sais ce qu'est un espace vectoriel définit par un certain nombre d'axiomes.
On peut définir un espace vectoriel par un certain nombre (c'est la dimension de l'espace vectoriel) de vecteurs de bases e1,.....en
Le produit tensoriel est une méthode pour fabriquer de nouveaux espaces vectoriels.
Par exemple avec un espace de dimension 3 de base e1, e2, e3 et un autre de dimension 2 de base f1, f2 on peut fabriquer un nouvel espace vectoriel à partir des 6 couples ordonnés de type: {e3, f1}}etc..
A partir de ces 6 vecteurs de bases on peut fabriquer n'importe quel vecteur de cet espace par combinaison linéaire.
Pour se rapprocher des présentations mathématiques on va prendre 2 fois le même espace vectoriel E de dimension n. Un vecteur de base du produit tensoriel s'écrira:
{ei,ej} qui appartient à E*E
Le vecteur le plus général de ce produit tensoriel d'espace s'écrira:
T = Ti,j.{ei,ej} (avec sommation sur les indices i et j)
T est un vecteur que l'on appellera tenseur de rang 2
Les Ti,j sont les n2 composantes de ce tenseur dans la base des {ei,ej}.
Pourquoi ce vecteur est-il si particulier au point de l'appeler tenseur?
Quand on fait un changement de base dans E cela induit un changement de base particulier dans E*E.
T = Ti,j.{ei,ej} = T'i,j.{e'i,e'j}
le vecteur T est intrinsèque mais le passage des anciennes composantes Tij aux nouvelles composantes est une matrice carré n2 dont la forme est déterminée par le changement de base Aij dans E. C'est çà qui fait la particularité de de type de vecteurs et justifie l'appellation tenseur..
Je t'invite à écrire l'expression de ce changement de base.
Remarque: Par extension on appelle les vecteurs de E des tenseurs de rang 1 (En pratique on continue à les appeler souvent vecteurs ce qui prête à confusion car les tenseurs sont aussi des vecteurs).
ben ...j'ai pas tellement compris ...désolé .
je croyais qu'il y avait une comparaison à faire entre tenseur et matrice.
Si c'était possible sur un exemple concret ...
merci
Un vecteur est représentée dans une base déterminée par une matrice colonne (ou ligne).
Un tenseur de rang 2 est représentée dans une base déterminée par ses composantes présentée sous la forme d'une matrice carré.
Attention: pour un vecteur il y a isomorphisme entre le vecteur et sa représentation. Cela n'est pas vrai entre un tenseur et une matrice. Cela ne permet pas donc pas d'assimiler une matrice à un tenseur. Pour s'assurer qu'une matrice est bien une représentation d'un tenseur de rang 2 il faut étudier son comportement dans un changement de base.
dans ce cas x,y,z,t est un vecteur (un tenseur de rang1) et le changement de coordonnées est une matrice de changement de base et non les composantes d'un tenseur.par exemple ds l'espace de minkowski on passe des coordonnées (x,y,z,ct) à (x',y',z',ct') par une matrice
le tenseur des contraintes est bien un tenseur de rang2. Comme il est construit sur R3 il doit y avoir 9 composantes.en physique du solide il existe le tenseur des contraintes
merci[/QUOTE]
Comprendre ce qu'est un tenseur demande un effort personnel très important que je ne peux pas faire à ta place.
Pour d'aider a comprendre les subtilités de la notion de tenseur je t'invite à réfléchir sur la différence (mathématique) entre un champ électrique E et un champ magnétique B.
Ce sont tous les deux des vecteurs de composantes Ex,Ey,Ez pour E et Bx,By,Bz.
Pourtant le premier est un vecteur (un tenseur de rang 1) et le deuxième un tenseur antisymétrique de rang 2 (sur les 9 composantes 6 sont nulles).
Pour cela regarde le champ magnétique comme un produit vectoriel (que tu connais) et constate que cela a bien la forme d'un produit tensoriel.
A partir de là compare le comportement des composantes de E et de B par changement de base avec la seule inversion r devient -r (ce qui constitue un changement de base particulier)
Tu verras que toutes les composantes de E changent de signes alors que les composantes de B ne changent pas du tout. Ceci est la manifestation du caractère tensoriel différent de E et B
Si tu as pigé cela tu devrais comprendre mieux la présentation formelle précédente.
je pensais que B avait le caractère d'un pseudo vecteur.
Comment trouver les 9 coordonnées de B avec rot de A ?
je pense avoir trouvé une différence entre matrice et tenseur :
les coeff d'une matrice sont sans unité alors que les coeff d'un tenseur en ont une ...
Justement on parle de B comme un pseudo vecteur pour dire qu'il ne se comporte pas comme un vecteur (au sens de tenseur de rang 1) dans un changement de base. Cela ne veut pas dire que B n'est pas un vecteur relativement aux axiomes des espaces vectoriels mais son comportement est exotique par rapport aux changements de base.
Il serait plus précis de dire que B est un tenseur antisymétrique de rang 2 en lieu et place de l'appellation pseudo vecteur.
Il faut partir de l'expression de B comme le produit vectoriel de r par le courant jComment trouver les 9 coordonnées de B avec rot de A
Pas du tout.je pense avoir trouvé une différence entre matrice et tenseur :
les coeff d'une matrice sont sans unité alors que les coeff d'un tenseur en ont une ...
Quelle différence fais-tu entre un vecteur v et une matrice colonne?
Ayant récemment participé à un forum wikipedia en anglais, sur les spinors j'ai été amené à faire la remarque suivante : Un vecteur intrinsèque d'un système physique, par exemple le spin de l'électron, n'est évidemment pas modifié par un changement des vecteurs de base (je raisonne en algèbre géométrique où tout se passe dans (R^3); inversement un vecteur strictement lié aux vecteurs de base se transforme selon une loi v'=R v R* , où R est un rotor. Mais la particularité spécifique du spineur est qu'il se situe entre les deux cas;
de ce fait il se transforme selon une loi psi'=psi R' .
Ceci s'explique par le fait que le spineur prend les variables quantiques en sandwich
psi u psi*
et qu'après rotation cette relation devient :
psi R* u' R psi*= psi' u' psi*'
Ceci aide aussi à comprendre pourquoi en tournant le système physique de 360 degrés le spineur ne "tourne que de 180 degrés", c'est à dire change de signe.
Bonjour,
C'est effectivement le point de la vue de la géométrie algébrique que j'appelle, à tord ou à raison, algébre de Clifford. Comme tu cites Hestenes je n'ai pas encore bien perçu les apports de ce dernier relativement à l'algébre de Clifford.
Peut-être que l'apport tiend justement dans le concept de rotor. Il faudrait que je prenne le temps de réfléchir à la question.
Il est exact que c'est Cartan qui a inventé les spineurs (en 1910) et il convient de lui attribuer la paternité du terme.faux.... faudrait réviser tes classiques : les travaux de Cartan ont précédé la MQ même si c'est un physicien (Ehrenfest en l'occurence) qui a "inventé" le mot et donc la physique qui les a popularisés
Le mot spineur a été repris par les physiciens, notamment par Uhlenbeck et Goutsmit en 1926, car dans leur esprit, l'électron était une petite bille qui tourne sur elle-même, ce qui leur a permis d'"expliquer" le doublet du sodium (une sphère chargée qui tourne produit un moment magnétique). Depuis longtemps, on sait que cette image ne tient pas la route.
Les astronomes parlent aussi du spin de la Terre pour évoquer son mouvement diurne.
Tout cela est très éloigné des idées de Cartan, même si en fait il a baptisé ainsi certains objets se transformant d'une certaine façon ... par rotation !
1)Le problème est que pour donner une réponse scientifique, il faut d'abord avoir une question scientifique
1) Quiconque examine le fil constatera que je suis le seul d'avoir fourni une réponse complète à la question posée. (que la réponse soit juste ou pas est une autre affaire)
......
......
2) Je souhaite que Rincevent, ou d'autres, écrive une explication élaborée et pedagogique qui ne dépasse pas une page. Je pense que cela intéresserait beaucoup de gens de voir des explications différentes sur la question "comparative" entre tenseurs et spineurs.
3) Pour l'instant je suis le seul. A d'autres de préciser ce qu'ils entendent par spineurs.
2) L'explication est déjà écrite : Cartan (1910)
3) Il n'y a pas la moindre ambiguïté sur le terme spineur : relire Cartan (je radote, mais que faire d'autre !?)
Oui, en 1913, c'est meme sur wikipedia et l'on peut acceder a l'article original gratuitement (merci Numdam)
Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicite plane
Non, cela serait changer l'histoire : c'est Ehrenfest qui a invente le terme "spineur"
Goudsmit
Le terme spineur n'est pas dans l'article plus haut. Pouvez-vous fournir la premiere reference ou Cartan utilise le terme spineur ?
Même si cet article ne contient pas le mot spineur j'avoue ne pas voir le rapport avec les spineurs tels que les comprend.
Si quelqu'un veut bien se lancer dans des explications.
1) Avez-vous la référence d'Ehrenfest ?
2) Merci de m'avoir corrigé
3) Je me référais à son petit livre publié en 1938 chez Hermann, où il reprend l'essentiel de ses travaux des années 1910. D'où mon extrapolation, hâtive d'après vous.
Une précision sur les origines des travaux.
L'explication standard que l'on retrouve partout et qui exploite l'homomorphisme entre SO(3) et SU(2) est due à Weyl et non à Cartan tel que je le croyais.
Par contre si ,quelqu'un veut se lancer dans la démonstration (au minimum la démarche) de Cartan, je suis preneur.
Re : spineurs et tenseurs
bonjour je suis assez ignorant de ces questions car je suis juste en l3 mais on m a introduit les tenseurs comme une generalisation de la notion de vecteur (c est a dire qui se transforme comme le produit de 4-vecteur lors d une transformation de Lorentz dans le cadre de la relativite restreinte) tout en insistant sur le lien privilegié qu ils entretiennent avec la geometrie en relativite generale.
j ai aussi lu qu on pouvait les voire comme des formes multilineaires (alterné je crois) alors que les spineurs seraient des solutions de l equation de dirac et que seul la contraction d un bispineur et d un bispineur pointé se transforme de maniere adequat lors d une TL, aussi j ai du mal a voir les liens qu ils ont, pourriez vous m expliquer succintement les notions necessaires pour pouvoir suivre ce debat qui m interresse au plus haut point merci d avance !
