Dérivations de tenseurs
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Dérivations de tenseurs



  1. #1
    invited12b356b

    Dérivations de tenseurs


    ------

    Bonjour, mon premier message ici.

    J'aimerai savoir comment l'on fait pour faire des dérivées covariantes.

    En exemple :
    .
    Avec .

    Je n'ai aucun exemple pour dériver, et je galère un peu :/.

    Merci.

    -----

  2. #2
    Gwyddon

    Re : Dérivations de tenseurs

    Salut,

    La dérivée covariante ce n'est pas ce que tu as écrit...

    La dérivée covariante c'est tel que où les sont les coefficients de Christoffel de la métrique.

    Pour dériver un vecteur covariant tu mets un signe - à la place du signe +, et pour dériver un tenseur (p,q) tu n'as plus qu'à appliquer cette règle pour chaque composante du tenseur
    Dernière modification par Gwyddon ; 15/01/2007 à 18h56.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  3. #3
    invited12b356b

    Re : Dérivations de tenseurs

    D'accord, je me suis planté .
    Donc, si on prend le premier terme, ça fait :


    Et après, je fais quoi?

  4. #4
    invited12b356b

    Re : Dérivations de tenseurs

    Je dois tomber sur :

    Mais je ne vois pas du tout comment y parvenir :/. J'ai beau tourner le truc dans tous les sens, je bloque.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Gwyddon

    Re : Dérivations de tenseurs

    Salut,

    Bon ok donc rien à voir avec la dérivée covariante

    Il faut que dérive comme d'habitude lorsque tu as un produit de fonctions, et que te rappelle que la métrique joue le rôle de monteur/descendeur d'indice
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  7. #6
    invited12b356b

    Re : Dérivations de tenseurs

    Pourquoi on obtient des dérivées partielles par rapport à d'autres indices (comme mu) et non plus seulement lambda?

    Et la dérivée de la métrique est égale à zéros?

  8. #7
    Coincoin

    Re : Dérivations de tenseurs

    Salut,
    rien à voir avec la dérivée covariante
    C'est juste une dérivée avec un indice covariant...

    Pourquoi on obtient des dérivées partielles par rapport à d'autres indices (comme mu) et non plus seulement lambda?
    C'est quand tu descends/montes les indices, ça te fait apparaître la métrique et une somme implicite.
    Et la dérivée de la métrique est égale à zéros?
    Si tu es dans un univers homogène (par exemple minkowskien), alors oui.
    Encore une victoire de Canard !

  9. #8
    invited12b356b

    Re : Dérivations de tenseurs

    Est ce que quelqu'un peut me faire un des edux membres pour que je vois comment ça marche, parce que là, je galère vraiment et je n'arrive à rien :/.
    Merci

  10. #9
    Gwyddon

    Re : Dérivations de tenseurs

    Un rappel utile aussi : .
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  11. #10
    invited12b356b

    Re : Dérivations de tenseurs

    J'ai essayé tous pleins de choses, je n'y arrive absolument pas.

  12. #11
    Gwyddon

    Re : Dérivations de tenseurs

    Écris-nous ce que tu as essayé, on va te guider
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  13. #12
    invited12b356b

    Re : Dérivations de tenseurs

    Par exemple, ce bout là :

    est égale à :

    Oui, non?
    Et après car là, je ne vois pas quoif aire de plus.

  14. #13
    Gwyddon

    Re : Dérivations de tenseurs

    Il y a un oubli dans le deuxième terme, c'est en faisant monter l'indice (souviens toi des propriétés de la métrique !) ; et le 1/4 est en facteur de tout dans ton dernier post.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  15. #14
    invited12b356b

    Re : Dérivations de tenseurs

    Bah le 1/4 est bien en facteur de tout là oO.

    Sinon, si on résonne comme ça,
    doit être égale à
    Non?
    Ce qui nous donnes :

    Et maintenant, que puis-je faire? la métrique j'en fait quoi?

  16. #15
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Dérivations de tenseurs

    Bonjour,

    Je sais que ça date, mais je suis tombé sur ce message au cours de recherches sur le forum.... Je pense que cela ne gênera pas toutsec si je donne maintenant la solution

    On considère donc un champ électromagnétique libre. Sa densité lagrangienne est .

    On part du tenseur d'énergie-impulsion du champ électromagnétique :



    et calcule sa divergence :



    On a simplement utilisé, outre les manipulations sur les hauteurs d'indices, le fait que les équations de Maxwell inhomogènes pour le champ libre sont , ainsi que et . C'est cette seconde égalité que nous utiliserons, car les équations de Maxwell homogènes s'écrivent



    En remplaçant par on obtient, en n'hésitant pas à manipuler les noms des indices muets;, ainsi que l'antisymétrie de :



    Pour passer de la première à la deuxième ligne, on a fait le changement d'indice muets dans le deuxième terme et utilisé l'antisymétrie de dans le troisième. Pour conclure, les changements d'indices muets et dans le troisième terme de la troisième ligne a été effectué.

    Et voila, sa divergence est nulle, on a donc des courants de Noether conservés et des charges associées ().
    On pourrait aussi vérifier que ce tenseur est symétrique (c'est immédiat) et invariant de jauge (par la transformation ). S'il ne l'était pas, (ça serait le cas si on avait appliqué le théorème de Noether pour déterminer ) on pourrait le modifier de façon à ce qu'il ait ces propriétés tout en restant un courant de Noether conservé.

    @+
    Dernière modification par albanxiii ; 27/07/2013 à 19h22.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

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