Dérivations de tenseurs

[toutsec]

Bonjour, mon premier message ici.

J'aimerai savoir comment l'on fait pour faire des dérivées covariantes.

En exemple :
.
Avec .

Je n'ai aucun exemple pour dériver, et je galère un peu :/.

Merci.
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[Gwyddon]

Salut,

La dérivée covariante ce n'est pas ce que tu as écrit...

La dérivée covariante c'est tel que où les sont les coefficients de Christoffel de la métrique.

Pour dériver un vecteur covariant tu mets un signe - à la place du signe +, et pour dériver un tenseur (p,q) tu n'as plus qu'à appliquer cette règle pour chaque composante du tenseur

[toutsec]

D'accord, je me suis planté .
Donc, si on prend le premier terme, ça fait :


Et après, je fais quoi?

[toutsec]

Je dois tomber sur :

Mais je ne vois pas du tout comment y parvenir :/. J'ai beau tourner le truc dans tous les sens, je bloque.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Salut,

Bon ok donc rien à voir avec la dérivée covariante

Il faut que dérive comme d'habitude lorsque tu as un produit de fonctions, et que te rappelle que la métrique joue le rôle de monteur/descendeur d'indice

[toutsec]

Pourquoi on obtient des dérivées partielles par rapport à d'autres indices (comme mu) et non plus seulement lambda?

Et la dérivée de la métrique est égale à zéros?

[Coincoin]

Salut,

rien à voir avec la dérivée covariante

C'est juste une dérivée avec un indice covariant...

Pourquoi on obtient des dérivées partielles par rapport à d'autres indices (comme mu) et non plus seulement lambda?

C'est quand tu descends/montes les indices, ça te fait apparaître la métrique et une somme implicite.

Et la dérivée de la métrique est égale à zéros?

Si tu es dans un univers homogène (par exemple minkowskien), alors oui.

[toutsec]

Est ce que quelqu'un peut me faire un des edux membres pour que je vois comment ça marche, parce que là, je galère vraiment et je n'arrive à rien :/.
Merci

[Gwyddon]

Un rappel utile aussi : .

[toutsec]

J'ai essayé tous pleins de choses, je n'y arrive absolument pas.

[Gwyddon]

Écris-nous ce que tu as essayé, on va te guider

[toutsec]

Par exemple, ce bout là :

est égale à :

Oui, non?
Et après car là, je ne vois pas quoif aire de plus.

[Gwyddon]

Il y a un oubli dans le deuxième terme, c'est en faisant monter l'indice (souviens toi des propriétés de la métrique !) ; et le 1/4 est en facteur de tout dans ton dernier post.

[toutsec]

Bah le 1/4 est bien en facteur de tout là oO.

Sinon, si on résonne comme ça,
doit être égale à
Non?
Ce qui nous donnes :

Et maintenant, que puis-je faire? la métrique j'en fait quoi?

[albanxiii]

Bonjour,

Je sais que ça date, mais je suis tombé sur ce message au cours de recherches sur le forum.... Je pense que cela ne gênera pas toutsec si je donne maintenant la solution

On considère donc un champ électromagnétique libre. Sa densité lagrangienne est où .

On part du tenseur d'énergie-impulsion du champ électromagnétique :



et calcule sa divergence :



On a simplement utilisé, outre les manipulations sur les hauteurs d'indices, le fait que les équations de Maxwell inhomogènes pour le champ libre sont , ainsi que et . C'est cette seconde égalité que nous utiliserons, car les équations de Maxwell homogènes s'écrivent



En remplaçant par on obtient, en n'hésitant pas à manipuler les noms des indices muets;, ainsi que l'antisymétrie de :



Pour passer de la première à la deuxième ligne, on a fait le changement d'indice muets dans le deuxième terme et utilisé l'antisymétrie de dans le troisième. Pour conclure, les changements d'indices muets et dans le troisième terme de la troisième ligne a été effectué.

Et voila, sa divergence est nulle, on a donc des courants de Noether conservés et des charges associées ().
On pourrait aussi vérifier que ce tenseur est symétrique (c'est immédiat) et invariant de jauge (par la transformation ). S'il ne l'était pas, (ça serait le cas si on avait appliqué le théorème de Noether pour déterminer ) on pourrait le modifier de façon à ce qu'il ait ces propriétés tout en restant un courant de Noether conservé.

@+