Déimonstration

[mehdi_128]

Bonsoir,

Je bloque sur certains points de cette démonstration.

Il s'agit de montrer que si n'est pas continue alors n'est pas un intervalle. Supposons que est croissante quitte à considérer .

1er cas : supposons que soit intérieur à .
Supposons non continue en . Ainsi ou

Supposons donc
Si alors et si on a :

Fixons ce qui est possible puisque est dans l'intérieur de . On a et mais car n'appartient à l'image.

1/ Je n'ai pas compris pourquoi n'appartient à l'image Sur un dessin c'est évident mais comment le montrer ?

2/ Par ailleurs, je dois faire le même raisonnement si ?

3/ Comment faire si est est une extrémité de ?
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[invite51d17075]

1/ Je n'ai pas compris pourquoi n'appartient à l'image Sur un dessin c'est évident mais comment le montrer ?

ici la supposition est :
Supposons donc

Donc , y n'est l'image d'aucun t de I.
Je te laisse l'expliciter ( par l'absurde par exemple ).

2/ Par ailleurs, je dois faire le même raisonnement si ?

ben oui, mais c'est évident , non ?

3/ Comment faire si est est une extrémité de ?

On s'intéresse dans ce cas aux limites à gauche ou à droite aux bornes de l'intervalle si celui ci est fermé en ces bornes.
Et le même raisonnement s'applique.

[invite51d17075]

ps : pour le point 2) , il suffit de mentionner qu'il s'agit du même raisonnement par symétrie.
refaire la démo induit une lourdeur inutile.
de même pour le point 3), le cas ne se pose que si l'intervalle est fermé sur une borne.
et, de même , on se retrouve exactement dans un des cas déjà démontré plus haut.
donc, inutile aussi de refaire la démo, mais simplement de bien expliquer pourquoi c'est la même chose.

[mehdi_128]

Bonjour, merci je pense avoir réussi 1 et 2 mais je n'ai pas compris votre indication pour la question 3

Supposons par l'absurde que
Soit ainsi il existe tel que
Si alors donc ce qui est absurde.
Si alors donc ce qui est absurde.

Pour la 2, supposons que ainsi
Si alors
Si alors
De même que précédemment,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

Bonjour, merci je pense avoir réussi 1 et 2 mais je n'ai pas compris votre indication pour la question 3

prenons la borne inférieure a.
la question ne se pose que si l'intervalle est fermé en celle ci. (s'il est ouvert en a , f(a) n'est pas définie )
supposons qu'il soit fermé en a et f non continue en ce point.
on est dans le cas ou !

[mehdi_128]

Merci Ansset j'ai compris

Si on prend la borne supérieure et non continue en on se ramène au cas qui a déjà été traité.

[Merlin95]

Par contre je ne vois pas pourquoi on peut considérer f croissante ou décroissante sans modifier la généralité de la démonstration.

[invite51d17075]

Par contre je ne vois pas pourquoi on peut considérer f croissante ou décroissante sans modifier la généralité de la démonstration.

Moi , je ne comprend pas l'utilité de commencer par étudier le cas d'une fct monotone.
Supposons une fonction non continue en a ( a dans I ).
Alors on a forcement
soit

soit

et on en déduit que l'un des deux intervalles n'est pas dans f(I)

[Merlin95]

f(a-) (ou f(a+)) n'existe même pas forcément pour toute les fonctions non continues.

[gg0]

Heu ..Ansset,

si la fonction n'est pas monotone, f(I) peut très bien être un intervalle avec f non continue; par exemple f(x)=x-E(x), I=0..10; f est discontinue sur I, mais f(I)=[0;1[.

Cordialement.

[gg0]

Merlin95,

Mehdi travaille depuis quelques temps sur les fonctions monotones, il a oublié de le dire dès le début, et son rajout "Supposons que f est croissante" n'est que l'examen d'un des deux cas possibles pour une fonction monotone.

Mais ce n'est pas la première fois qu'il oublie une hypothèse essentielle, oubliant qu'un lecteur de son message peut ne pas savoir de quoi il parle.

Cordialement.

[mehdi_128]

Par contre je ne vois pas pourquoi on peut considérer f croissante ou décroissante sans modifier la généralité de la démonstration.

Pour décroissante il suffit d'appliquer la propriété à -f qui est croissante.

-f n'est pas continue alors n'est pas un intervalle ce qui est équivalent à :

n'est pas continue alors n'est pas un intervalle

[mehdi_128]

Par contre je ne vois pas pourquoi on peut considérer f croissante ou décroissante sans modifier la généralité de la démonstration.

La monotonie sert pour dire que si alors

[Merlin95]

ca j'avais compris... mais ce n'est pas le sens de ma question à laquelle a répondu gg0.

[invite51d17075]

Heu ..Ansset,

ho !!!!! shame on me !

[mehdi_128]

@Ggo

Vous avez raison ! Le théorème est le suivant :

Soit une fonction monotone. Elle est continue si et seulement si est un intervalle.