Raisonnement et vocabulaire ensembliste ( Démonstration MPSI )

[invitee7841949]

Bonjour à tous je suis bloqué dans un exercice de démonstration, voici l'énoncé: ( Les questions sont indépendantes )
1/ Soit a et b deux réels. Montrer que a ≠ b implique a² ≠ b² .
Ici j'ai démontré par l'absurde que si a ≠ b implique a²=b² or c'est absurde ( Je pense que ma démonstration est fausse )
2/ Déterminer un entier naturel n0 tel que pour tout entier n ≥ n0 , 2^n ≥ n². Après avoir donné la valeur de n0, on n'omettra pas de prouver l'inégalité souhaitée.
Ici j'ai donné la valeur évidente de n0 donc n0= 4 mais ensuite je ne sais pas comment commencer la démonstration
Merci d'avance
-----

[invite332de63a]

Bonjour, la première est clairement fausse. En effet 1 et -1 sont différents et ont pourtant le même carré.

L'implication réciproque a l'air plus juste.

Pour la deuxième, une récurrence devrait le faire non ?

RoBeRTo

[invitee7841949]

Merci pour votre réponse
Pour la 1/ j'ai oublié de dire qu'on ne prenait que la valeur absolu donc je crois qu'on ne peut pas prendre -1
Pour la 2/ j'ai fait une récurrence et je pense avoir bon
J'ai supposé par l'hypothèse de récurrence que 2ⁿ ≥n².
Donc on doit démontrer que 2ⁿ⁺¹ ≥n²+2n+1
J'ai donc d'abord trouvé 2ⁿ⁺¹ ≥2n²
J'ai donc fait une transitivité donc 2n² ≥n²+2n+1 [smb]equivaut[/smb] n²-2n-1 ≥0. J'ai donc calculer le discriminant pour étudier le signe, et j'ai donc trouvé que n²-2n-1 ≥0 à partir de 1+[smb]racine[/smb]2 donc par transitivité 2ⁿ⁺¹ ≥n²+2n+1 Donc la propriété est bien héréditaire

[invite452d5a24]

Bonjour,

J'ai supposé par l'hypothèse de récurrence que 2ⁿ ≥n²...

Que se passe-t-il quand n=3 ?

Bonne journée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour Bamasp.

Pour le 1, sans un énoncé précis et complet, on ne peut pas t'aider. Tout au plus utiliser l'énoncé incorrect que tu as fourni.
Dans l'ensemble, il faut que ru fasse sérieusement attention à ce que tu écris : "on ne prenait que la valeur absolu" ne veut rien dire ! "si a ≠ b implique a²=b² or c'est absurde" non plus.

Cordialement.

NB : Pour le 2, il est assez surprenant que 4 n'intervienne pas !!

[invitee7841949]

Merci de vos réponses pour le 2 j'ai écrit qu'on commençait la récurrence pour n ≥ 4
Pour la 1 l'énonce exacte est: Soit a et b deux réels. Montrer que: valeur absolu de a ≠ valeur absolu de b implique a² ≠ b².
Il ne faut pas utiliser l'absurde ?

[Médiat]

Bonjour,
la contraposée est triviale à démontrer

[invite51d17075]

bjr,
une récurrence n'est pas forcement nécessaire.
la fct ln étant strict croissante sur R+*

il suffit de vérifier que pour n > 4 ( car il y a égalité pour n=4)
la fct xln(2)-2ln(x) est strict croissante