Raisonnement démonstration exponentielle

[invite97433c9c]

Bonjour, je me pose la question en relisant les démonstration du début du cours "d'ou ça vien ça?"

En fait, dans plusieurs démo, on utilise une fonction annexe pour étudier la fonction voulue, mais comment choisissons nous cette fonction ?

Par exemple :

Pour calculer la lim e(x)/x , on compare e(x) à x²/2...
+infini

on pose g(x)=e(x) - x²/2, o, dérive on cherche le signe on en déduit les variations de G, et en trouvant la lim de x²/2, on en déduit la limite trouvée.

Ma question est : D'ou vient le x²/2 ? On le fixe pour que ça tombe juste ? (à ce moment la la démo ne marche pas pour tout x de l'intervalle...)

Merci d'avance de vos réponses,

Lucien.
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[ansset]

Bonjour, je me pose la question en relisant les démonstration du début du cours "d'ou ça vien ça?"

En fait, dans plusieurs démo, on utilise une fonction annexe pour étudier la fonction voulue, mais comment choisissons nous cette fonction ?

Par exemple :

Pour calculer la lim e(x)/x , on compare e(x) à x²/2...
+infini

on pose g(x)=e(x) - x²/2, o, dérive on cherche le signe on en déduit les variations de G, et en trouvant la lim de x²/2, on en déduit la limite trouvée.

Ma question est : D'ou vient le x²/2 ? On le fixe pour que ça tombe juste ? (à ce moment la la démo ne marche pas pour tout x de l'intervalle...)

Merci d'avance de vos réponses,

Lucien.

bonjour, non ce n'est pas par hasard.
quand on prend une autre fonction c'est pour minorer ou majorer la première.
or, par exemple le developpement limité de e(x) est
e(x) = 1+x +x²/2! +x^3/3! etc ...
donc e(x) tj => 1+x +x²/2
d'ou la limite en +l'inf

[invite97433c9c]

e(x) = 1+x +x²/2! +x^3/3! etc ...

Je n'ai pas compris le développement... ?

[invitec17b0872]

Bonjour,

Il s'agit d'un développement limité de Taylor. Vous avez du voir qu'on pouvait localement approcher l'accroissement d'une fonction par celui de sa tangente, on vous a alors parlé de "meilleure approximation affine". Ce calcul peut se mener à des "ordres supérieures" càd en améliorant la précision en invoquant des puissances de x supérieures à 1, donc en x², etc.
C'est ce qui a été développé ici : ce développement permet d'estimer le comportement de l'exponentielle proche de sa valeur en 0 !!
Ici vous menez un raisonnement sur l'infini. Ce développement vous permet de voir comment se comporte la fonction un peu au delà de 0, elle croit plus vite que x²/2 et elle est monotone sur R, on peut donc raisonner sur la limite à l'infini.

Renseignez-vous en // sur les développements de Taylor
Bon courage

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97433c9c]

D'accord, merci bien je vais me renseigner oui. Je me remet a mes révisions!