Exponentielle ( démonstration )

[invitea7a3849b]

Bonjour à tous, hier j ai attaqué le chapitre sur les fonctions exponentielles mais je n'arrive pas à démontrer (que pour une fonction f non nulle et dérivable sur R telle que, pour tous x et y de R f(x+y)=f(x)*f(y) ) que pour tout x de R f(x)=exp(kx), k€ R


Pourriez vous me donner des pistes svp ?


Merci d avance
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[bubulle_01]

Bonjour !
Dérive ton expression par rapport à et ensuite essaye de prendre une valeur précise pour ou qui te faciliterait bien des choses

[invite890931c6]

Nous on avait aussi posé la fonction définie par :



ce qui est bien utile.

[invitea7a3849b]

Est ce que x peut être fixé ou pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7a3849b]

Soit g la fonction définie par g(x)= f(x)*f(y)

Pour x fixé, la dérivée de g est g'(x)=f(x)*f'(y)

Prenons g(x)= f(x+y)

Sa dérivée est g'(x) = f'(x+y)

Donc f ' ( x+y ) = f ' (x)*f ' (y)

Prenons K pour f'(y)= 0 on a f'(x)= f'(x) x K

or les fonctions sur R vérifiant f' = f k sont les fonctions x |=> A exp(kx)

Suis je dans le vrai ? Comment conclure svp ?