Etude de Un+1=sin(Un)

[BMChimie06]

Bonjour,
dans un exercice, il m'est demandé de trouver la limite de la suite définie par .
Je pense que la bonne idée est d'utiliser le fait que sin est contractante sur l'intervalle [-1;1], mais je ne sais pas comment conclure rigoureusement par rapport au cours.
Voilà ou j'en suis rendu :
soit f(x)=sin(x).
Pour tout appartient à [-1,1].
f est dérivable et
Or pour tout x appartenant à [-1;1], f'(x) est à valeurs dans ]-1;1[.On peut ainsi utiliser le théorème des accroissements finis pour montrer que
Ainsi sur [-1;1], sin(x) est contractante. On sait aussi que 0 est un point fixe : en effet, f(0)=0.
Le problème est que je n'arrive pas à conclure proprement sur la limite de la suite en utilisant le point fixe, notamment parce que n'appartient pas forcément à [-1;1].

Comment faire ?
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[minushabens]

Mais U1 est bien dans [-1,1]