Exercice raisonnement par récurrence/démonstration.

[invite0977b37a]

Bonjours à toutes et à tous,

J'ai 2 petits exercices pas très durs mais je ne sais pas si ma démonstration est parfaite. Merci d'avance.

Exercice 1:

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer par récurrence sur n que si A1, A2, A3,..., An sont des réels supérieurs ou égaux à 1, alors:

A1A2A3...An est supérieur ou égaux à 1

Ce que j'ai fait: Donc là je fait l'initialisation pour p(2) et je trouve que p(2) est vraie car p(2)=2 donc 2 plus grand que 1.

Ensuite, je passe à l'hérédité avec p(p). Donc je passe tous les petits calculs mais je trouve à la fin que pour p(p+1): A1A2A3...ApAp+1 vue que p+1 est supérieur ou égale à 1, alors p est supérieur à 0 et alors on en conclue que la propostion est vérifié.

Exercice 2:

Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2:

n(facteur, n-1)/n! est supérieur ou égal à 1

Ce que j'ai fait: Alors là j'ai dit que (nxn!) est strictement supérieur ou égal à 4 (car n est supérieur ou égal à 2) et que n(facteur, n) est supérieur ou égale à 4. Alors on divise: n(facteur, n)/(nxn!) supérieur ou égal à 4/4(=1) donc n(facteur, n-1)/(nxn!) est supérieur ou égal à 1.

J'aimerai que vous me dites si ceci est bon, juste j'ai oublié quelque chose dans ma démonstration ou si elle est fausse dite le moi, je vous remercie d'avance.
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[invite3c51923e]

Bonsoir,

je trouve que p(2) est vraie car p(2)=2 donc 2 plus grand que 1.

Non, rien ne te dit que A2 = 2, c'est juste un réel supérieur à 1. Tu peux tout simplement vérifier p(1), A1 est bien supérieur ou égal à 1.
Tu peux ensuite revoir la suite de ton raisonnement en prenant en compte que An est juste un réel supérieur à 1.

Qu'entend tu par "n(facteur, n-1)"?

[inviteaf48d29f]

Bonjour,

Donc là je fait l'initialisation pour p(2) et je trouve que p(2) est vraie car p(2)=2 donc 2 plus grand que 1.

Ensuite, je passe à l'hérédité avec p(p). Donc je passe tous les petits calculs mais je trouve à la fin que pour p(p+1): A1A2A3...ApAp+1 vue que p+1 est supérieur ou égale à 1, alors p est supérieur à 0 et alors on en conclue que la propostion est vérifié.

Ah je crois que je viens de comprendre, ce que vous appelez p(n) c'est le produit des A_i i allant de 1 à n. Vous ne pouvez pas le noter comme ça car vous notez de la même façon n'importe quel produit de n éléments. Par exemple 2x3=6 et 3x4=12 sont tous les deux des produits de deux éléments, vous ne pouvez pas noter les deux p(2) car vous auriez p(2)=6=12 donc 6=12 ce qui est ennuyeux ^^.

De plus faites très attention, vous avez noté p(p) où le "p" à l'extérieur de la parenthèse ne signifie produit et le "p" dans la parenthèse est un entier. La même lettre doit désigner une seule et unique chose dans une expression.

Pour faire votre récurrence écrivez correctement la proposition que vous voulez démontrer. Pour n appartenant à N "Tout produit de n éléments supérieurs ou égaux à 1 est supérieur ou égal à 1".
L'initialisation est évidente, pour n=1 ça revient à dire "Tout produit de 1 élément supérieur ou égal à 1 est supérieur ou égal à 1".

Pour l'hérédité vous supposez que c'est vrai pour un certain n (fixé quelconque) et vous montrez que c'est alors vrai pour n+1. C'est à dire, vous prenez un produit quelconque de n+1 éléments....