Exercice Démonstration par récurrence - TS

[invitebf909e8b]

Bonjour à tous,
J'ai un exercice de Devoir Maison à faire, je suis bloqué sur l'héridité de ma récurrence.

Sujet : Pour tout entier naturel non nul on pose :
Sn = 1/k(k+1)(k+2)= 1/1*2*3+1/2*3*4+...+1/n(n+1)(n+2)
S1=1/1*2*3=1/6
S2= 1/1*2*3 + 1/2*3*4 =5/24

1) Calculer sous forme de fraction irréductible S3 :

S3 = 1/1*2*3 + 1/2*3*4 + 1/3*4*5 = 5/24+1/60 = 9/40

2) Démontrer par récurrence que Pour tout n entier non nuls S_n=n(n+3)/4(n+1)(n+2)

Initialisation :
Avec N=1 : 1(1+3)/4(1+1)(1+2) = 4/24 = 1/6
D'où P(1) Vraie.

Hérédité :

Et là je sais que je doit faire avec S_n+1, mais je ne trouve pas la bonne expréssion pour calculer.

Quelqu'un peut-il m'aider ??
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[Jon83]

Bonjour!

Dans l'expression de S(n), tu remplaces n par n+1 pour avoir S(n+1).
Ensuite tu travailles cette expression pour faire apparaître la loi que tu cherches à démontrer!

[invitebf909e8b]

Ce qui ferait S_n+1= (n+1)(n+3)/4(n+2)(n+3) ?
C'est ce que j'avais trouver mais je n'arrive pas a retomber sur cette expréssion ensuite pour calculer S_n+1 = S_n + (n+1)

[Jon83]

Il faut développer cette expression et la ré-arranger pour faire apparaître ta propriété!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebf909e8b]

D'accord
En développant j'obtiens :

S_n+1= (n²+3n)/(4n+8+4n+12+n²+2n+6) +(n+1)

Soit S_n+1 = (n²+3)/(n²+10n+20) + (n+1)

Donc S_n+1 = (n²+3)+(n+1)(n²+10n+20)/(n²+10n+20)

Après je bloque .. Car jusque là j'ai tout fais mais je n'arrive pas à retomber sur mon expression ..

[invitebf909e8b]

Personne ???

[invite26003a38]

Tu écris que
Tu peux remplacer par l'expression recherchée par recurrence car tu auras préalablement fait ton hypothèse de récurrence...

[invitebf909e8b]

L'expréssion recherchée par récurrence est bien celle à laquelle je dois aboutir c'est à dire : S(n+1)= (n+1)(n+3)/4(+2)(n+3) ??

[invitebf909e8b]

Je trouve Sn+1 = [n(n+3)][4(n+1)(n+2)]/[4(n+1)(n+2)]² x (n+1)(n+2)(n+3)

[invite26003a38]

tu dois remplacer Sn par n(n+3)/4(n+1)(n+2) dans la formule que je t'ai donnée puis il ne te reste plus que les calculs à faire pour arriver à vérifier P(n+1)

[invitebf909e8b]

ça me donne bien l'expréssion au dessus de ton message ??

Merci beaucoup pour ton aide !!

[invite26003a38]

Pas tout à fait. Pourquoi multiplier par 4(n+1)(n+2) au numérateur et au dénominateur ?
Ensuite tu dois ajouter 1/(n+1)(n+2)(n+3) pour aboutir à P(n+1).
Je ne vois pas ce que x (n+1)(n+2)(n+3) vient faire ici ...

[invitebf909e8b]

ça donnerait donc

S_n+1 = [n(n+3)/4(n+1)(n+2)] + 1/(n+1)(n+2)(n+3)

Seulement pour pouvoir ajouter les deux termes il faut le même dénominateur ?? qui serait donc [4(n+1)(n+2)][n+1)(n+2)(n+3) ??

[invite26003a38]

oui tout à fait.

[invitebf909e8b]

Je trouve donc comme expréssion :
S_n+1 = " [n(n+3)][(n+1)(n+2)(n+3)] + 4(n+1)(n+2)(n+3) " / 4(n+1)(n+2)(n+1)(n+2)(n+3) ?