Démonstration par récurrence

invite7545be06 · 02/09/2009, 16h47

Bonjour,

j'ai compris le principe de ce type de démonstration, mais je n'ai pas vu beaucoup d'exemples et je crois que je bloque un peu quand il faut démontrer que le résultat reste vrai pour n+1, en admettant qu'il est vrai pour n. Là je suis sur un exercice qui a pour énoncé :

"Calculer Aⁿ où $\text{[math]}$ :

a) $\text{[math]}$

b) ... "

Pour la question a), la réponse est Aⁿ = $\text{[math]}$ , et c'est indiqué qu'on démontre ça par récurrence, mais sans donner toutes les étapes. Et en calculant les premiers termes de Aⁿ c'est bien l'hypothèse que je trouve, mais après je ne sais pas comment démontrer formellement (car là le résultat paraît évident) qu'on a bien Aⁿ = $\text{[math]}$ pour n'importe quel n.

Est-ce quelqu'un pourrait m'expliquer ? Merci

invite88ef51f0 · 02/09/2009, 16h54

Salut,
Quelles sont les différentes étapes d'une démonstration par récurrence ?

invite7545be06 · 02/09/2009, 17h15

a) On vérifie que le résultat est vrai pour n=1 (ou plus généralement pour un indice n₀ $\text{[math]}$ ) (initialisation de la récurrence)
b) On admet l'hypothèse de récurrence (H_k $\text{[math]}$ C_k est vrai pour tout rang k $\text{[math]}$ n₀)
c) On démontre que (H_k $\text{[math]}$ C_k) $\text{[math]}$ (H_k+1 $\text{[math]}$ C_k+1) (C'est sur cette partie c) que je bloque)

invite88ef51f0 · 02/09/2009, 17h17

Est-ce que tu peux m'expliquer le point c plus en détails, avec tes mots ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite7545be06 · 02/09/2009, 17h39

J'étais sûr que c'était pour vérifier si j'avais vraiment compris ou pas

Il faut montrer que le résultat reste vrai pour le rang k+1, c'est bien ça ?

invite7545be06 · 02/09/2009, 17h54

Donc en fait c'est comme une deuxième démonstration (par une autre méthode) dans la démonstration par récurrence. Je comprends l'exemple de mon livre (c'est avec une suite), mais là je ne vois pas comment l'appliquer au problème avec la matrice.

(Normal qu'on ne puisse pas éditer ses messages ?)

**fiatlux** · 02/09/2009, 18h10

Oui après plus de 5 minutes tu ne peux plus éditer.

tu dois montrer que $\text{[math]}$ , sachant que (par hypothèse) $\text{[math]}$ .
Donc:
$\text{[math]}$

invite7545be06 · 02/09/2009, 19h03

Ah !

Merci ! En fait j'avais écrit le début : Aⁿ⁺¹ = Aⁿ * A = ... mais c'est là que je me suis dit : et ensuite ? Je pensais que puisqu'on a défini Aⁿ par hypothèse, on ne pouvait pas s'en servir dans la démonstration !

Merci beaucoup à vous deux !

invite88ef51f0 · 02/09/2009, 19h59

Je pensais que puisqu'on a défini An par hypothèse, on ne pouvait pas s'en servir dans la démonstration !

Au contraire ! C'est à ça que sert l'hypothèse !

Démonstration par récurrence