Démonstration par récurrence

[inviteb00cc81e]

Bonjour,

j'ai un exercice abordant la démonstration par récurrence que je n'arrive pas à achever, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît?
Je vous remercie par avance de l'aide que vous pourrez m'apporter.

Exo :
Démontrer pour tout entier naturel n >= 5 :
2^n > n^2
(ici le symbole ^ signifie exposant)

Raisonnement :
1ère étape : initialisation
2^5=32 et 5^2=25
alors : 32 > 25
donc : la propriété au rang 5 est vraie.

2ème étape : hérédité
a) On suppose que pour n >= 5:
2^n > n^2

b) On veut alors montrer :
2^(n+1) > (n+1)^2

c)
2^n > n^2
2*2^n > 2*n^2
2^(1+n) > 2*n^2
2^(n+1) > 2*n^2
.......
je bloque.....
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[invite57a1e779]

c)
2^n > n^2
2*2^n > 2*n^2
2^(1+n) > 2*n^2
2^(n+1) > 2*n^2
.......
je bloque.....

Il te suffit de montrer que , c'est-à-dire que , ce qui est l'étude du signe d'une expression du second degré...

[inviteb00cc81e]

Merci de ton aide, j'ai compris le raisonnement à avoir et en effet le petit truc était de se ramener à l'étude d'un pôlynome du second degré.

Mais peut-on aller jusqu'à dire que toutes les inéquations à démontrer par récurrence sont à ramener à l'étude d'un pôlynome du second degré?

Je fais pratiquer en essayant d'achever la 2ème inéquation à démontrer par récurrence sur laquelle je bloquais également.

Merci!

[invite57a1e779]

Bonjour,

Mais peut-on aller jusqu'à dire que toutes les inéquations à démontrer par récurrence sont à ramener à l'étude d'un pôlynome du second degré?

Non, on peut avoir une inégalité du type avec une fonction croissante par exemple, ou une inéquation que l'on résout à l'aide d'un tableau de signes, ou ...
Il faut s'adapter à chaque exercice.

[A voir en vidéo sur Futura]