Bonjour,
Je dois démontrer par récurrence que :
n entier naturel.
Après avoir constaté que la fonction f(n) =
J'ai donc f(k + 1) =
et je dois montrer que c'est égale à 1 + 2² + 3² + ... k² + (k + 1)² mais je ne vois pas comment
Ou alors je me trompe dans mon raisonnement ? Je ne pense pas pourtant ...
merci
Salut,
Que vaut f(n+1) - f(n) ?
Ca vaut... (n+1)²
Voilà pourquoi je n'aime pas trop les raisonnements par récurrence : on se focalise sur la mécanique et on oublie le problème.
Salut,
j'y vais de ma réf historique: on trouve ce calcul et une généralisation à des puissances quelconques dans l'Ars conjectandi (1713) de Jacob Bernoulli (d'où les célèbres nombres de Bernoulli).
A vos bibliothèques ou à votre moteur de recherche préféré!
Cordialement.
Mais une fois le résultat "intuitionné", celà demeure un moyen simple et rigoureux de le prouver.Envoyé par ericcc
Oui Oui, on ne va pas recommencer la discussion de l'autre fil...
Cela étant - just joking !
Je ne comprend pas, en quoi cela m'aide t'il?
merci
Je n'ai pas dit que je ne suis pas d'accord avec toi.
Pour Bleyblue: il faut bien que tu passes du rang n au rang n+1, non?
Pas tout a fait. Supposer que c'est valable pour k signifie f(k)=Après avoir constaté que la fonction f(n) =
J'ai donc f(k + 1) =
Ce que tu dois montrer c'est f(k+1)=1+2²+3²+...+(k+1)²=et je dois montrer que c'est égale à 1 + 2² + 3² + ... k² + (k + 1)² mais je ne vois pas comment
He bien il te suffit de voir que f(k+1)=f(k)+(k+1)². Apres c'est que du calcul.
Oui en effet, le franc est tombé 10 minutes après avoir posté mon dernier message.
J'ai donc réussit à montrer que f(k + 1) = f(k) + (k +1)² et comme dans S = 1² + 2² + 3² ... + n² on sait que S(n + 1) = S(n) + (n+1)² on peut dire qu'on a démontrer que f(k + 1) est vrai lorsque f(k) est vrai. C'est bien ça ou je suis encore à côté?
merci
T'as le droit d'utiliser l'hypothese de recurrence : 1²+2²+3²+....+n²= (n(n+1)(2n+1))/6 ?
Si oui c'est tout simple il suffit de faire 1²+2²+3²+....+n²+(n+1)² = (n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)² et tu mets (n+1) en facteur. Normalement tu trouves ((n+1)(n+2)(2n+3))/6
Sinon sans te servir de ca, tu peux te servir de (k+1)^3 = k^3 + 3k² + 3k + 1
Que tu transformes en 3k² = (k+1)^3 - k^3 -3k -1. Puis tu fais une sommation de k=1 a k=n de tous les termes. Mais y a pas de récurrence la..
Eh bien oui : "On suppose que f(n) est vrai et on démontre que f(n + 1) est vrai lorsque f(n) est vrai ".
Non ça doit être par récurrence, c'est le but de l'exercice
Ce que j'ai dit ci dessus est juste ?
merci
Ben je n'ai jamais procéder comme tu as fait au-dessus, mais toujours comme je l'ai fais dans mon post, qui est une récurrence tout ce qu'il y a de plus simple.
En gros tu additiones (n+1)² a ton hypothèse et ca se simplifie très vite pour trouver le bon résultat..
Récurrence établie(et premier test Latex au passage !)
Y'a quand meme beaucoup plus simple. J'avais dis
Remplacez f(k) par sa valeur (hypothese de récurrence) dans l'expression f(k+1) :f(k+1)=f(k)+(k+1)². Apres c'est que du calcul.
f(k+1)=
C'est exactement ce que j'ai faisY'a quand meme beaucoup plus simple.
Il serait intéressant de savoir quelle démonstration Bernoulli (au fait lequel ?) a trouvée.
Bon, je crois que je vais attendre le début des cours pour m'attaquer à ces exercices.
Je voulais anticiper un peu sur mon cours de math. de cette année. (qui débutera d'ici deux semaines) mais visiblement je ne maîtrise pas encore la récursivité.
merci à tous !
Salut,
Ca n'a pas changé depuis le message #4: c'est toujours Jacob.
Celui-ci a donc écrit la somme
Cordialement.
Bon je reviens à la charge parce que je n'y suis toujours pas en fait :
S(n) = 1² + 2² + 3² +... + n² =
On sait que S(n) = S(n-1) +n²
1) On vérifie que S est bien vrai pour n = 1
2) On doit démontrer que si S est vrai pour n = k (k naturel > 1)alors S est aussi vrai pour k + 1
S(k+1) =
=
=
=
= S(k) +
=S(k) + k² + 2k + 1
= S(k) + (k +1)² ce qui est bien conforme à S(n) = S(n-1) +n² avec ici n = (k + 1) donc c'est démontré.
Il y a quelque chose à reprocher à ce raisonnement ou bien c'est juste ?
merci
J'ai été demandé à un professeur assistant aujoud'hui.
Il a dit que ma démonstration était tout à fait juste, même si elle est un peu "bizarrement construite"
merci à tous
Tu peux essayer de faire la même chose pour les cubes.
Il faut déjà essayer de conjecturer la formule (si tu connais la somme des k allant de 1 à n c'est assez facile en faisant quelques tests).
Et tu démontres par récurrence !
C'est déja fait, cette formule est en fait la première d'une série de quatre formules que j'ai dut démontrer. La deuxième de ces quatres formules c'est la même avec des cubes à la place des carrés
merci
Bon bah essaye alors la somme des k (k+1).
Et des k (k+1) (k+2).
Je peux essayer ça alors oui.
merci
Juste pour dire que les méchants khôlleurs, ils te disent : démontrez la formule, mais sans utiliser la récurrence comme si vous ne connaissiez pas la formule...
PS : BleyBlue : tu es à quel niveau d'études ? (et quel est son homologue français ?)
Je suis sorti de réthorique (de terminale) en juin 2004, section science math (ça correpond à une terminale S en France je pense ? Quoiqu'il en soit ça veut dire que j'avais 7h de math + 7h de sciences (chimie bio physique) par semaine)
Ensuite j'ai fait une année de médecine à l'université (catastrophique, hormis en math
Dernière modification par Bleyblue ; 02/10/2005 à 14h47.
Si c'est pour les k(k+1) et Cie, si tu connais la somme des k, y a effectivement pas besoin de récurrence. Suffit de poser k'= k + 1 et puis la suite est pas dure.Juste pour dire que les méchants khôlleurs, ils te disent : démontrez la formule, mais sans utiliser la récurrence comme si vous ne connaissiez pas la formule...
Mais faut que le méchant khôlleur accepte la somme des k...
Soit la suite définie par Uo=1/3
et U(n+1)=((n+1)/3n) * Un
Et il faut montrer par réccurence que Un=n/3^n ...
Mais la jvois pas comment montrer l'hérédité..
Besoin d'aide!!
Merciii
