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Démonstration par récurrence



  1. #1
    Bleyblue

    Démonstration par récurrence


    ------

    Bonjour,

    Je dois démontrer par récurrence que :


    n entier naturel.

    Après avoir constaté que la fonction f(n) = est vraie pour n=1 je suppose qu'elle est valable pour n = k.

    J'ai donc f(k + 1) =

    et je dois montrer que c'est égale à 1 + 2² + 3² + ... k² + (k + 1)² mais je ne vois pas comment

    Ou alors je me trompe dans mon raisonnement ? Je ne pense pas pourtant ...

    merci

    -----

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  4. #2
    g_h

    Re : Démonstration par récurrence

    Salut,

    Que vaut f(n+1) - f(n) ?
    Ca vaut... (n+1)²

  5. #3
    ericcc

    Re : Démonstration par récurrence

    Voilà pourquoi je n'aime pas trop les raisonnements par récurrence : on se focalise sur la mécanique et on oublie le problème.

  6. #4
    martini_bird

    Re : Démonstration par récurrence

    Salut,

    j'y vais de ma réf historique : on trouve ce calcul et une généralisation à des puissances quelconques dans l'Ars conjectandi (1713) de Jacob Bernoulli (d'où les célèbres nombres de Bernoulli).

    A vos bibliothèques ou à votre moteur de recherche préféré!

    Cordialement.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    martini_bird

    Re : Démonstration par récurrence

    Citation Envoyé par ericcc
    Voilà pourquoi je n'aime pas trop les raisonnements par récurrence : on se focalise sur la mécanique et on oublie le problème.
    Mais une fois le résultat "intuitionné", celà demeure un moyen simple et rigoureux de le prouver.

  9. #6
    ericcc

    Re : Démonstration par récurrence

    Oui Oui, on ne va pas recommencer la discussion de l'autre fil...
    Cela étant - just joking !

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  11. #7
    Bleyblue

    Re : Démonstration par récurrence

    Citation Envoyé par Eric
    Salut,

    Que vaut f(n+1) - f(n) ?
    Ca vaut... (n+1)²
    Je ne comprend pas, en quoi cela m'aide t'il ?

    merci

  12. #8
    martini_bird

    Re : Démonstration par récurrence

    Citation Envoyé par ericcc
    Oui Oui, on ne va pas recommencer la discussion de l'autre fil...
    Cela étant - just joking !
    Je n'ai pas dit que je ne suis pas d'accord avec toi.

    Pour Bleyblue: il faut bien que tu passes du rang n au rang n+1, non?

  13. #9
    zapple

    Re : Démonstration par récurrence

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Après avoir constaté que la fonction f(n) = est vraie pour n=1 je suppose qu'elle est valable pour n = k.

    J'ai donc f(k + 1) =
    Pas tout a fait. Supposer que c'est valable pour k signifie f(k)=

    et je dois montrer que c'est égale à 1 + 2² + 3² + ... k² + (k + 1)² mais je ne vois pas comment
    Ce que tu dois montrer c'est f(k+1)=1+2²+3²+...+(k+1)²=

    He bien il te suffit de voir que f(k+1)=f(k)+(k+1)². Apres c'est que du calcul.

  14. #10
    Bleyblue

    Re : Démonstration par récurrence

    Oui en effet, le franc est tombé 10 minutes après avoir posté mon dernier message.

    J'ai donc réussit à montrer que f(k + 1) = f(k) + (k +1)² et comme dans S = 1² + 2² + 3² ... + n² on sait que S(n + 1) = S(n) + (n+1)² on peut dire qu'on a démontrer que f(k + 1) est vrai lorsque f(k) est vrai. C'est bien ça ou je suis encore à côté ?

    merci

  15. #11
    Lagoon

    Re : Démonstration par récurrence

    T'as le droit d'utiliser l'hypothese de recurrence : 1²+2²+3²+....+n²= (n(n+1)(2n+1))/6 ?
    Si oui c'est tout simple il suffit de faire 1²+2²+3²+....+n²+(n+1)² = (n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)² et tu mets (n+1) en facteur. Normalement tu trouves ((n+1)(n+2)(2n+3))/6

    Sinon sans te servir de ca, tu peux te servir de (k+1)^3 = k^3 + 3k² + 3k + 1

    Que tu transformes en 3k² = (k+1)^3 - k^3 -3k -1. Puis tu fais une sommation de k=1 a k=n de tous les termes. Mais y a pas de récurrence la..
    Dernière modification par Lagoon ; 31/08/2005 à 22h56.

  16. #12
    Bleyblue

    Re : Démonstration par récurrence

    Citation Envoyé par Lagoon
    T'as le droit d'utiliser l'hypothese de recurrence : 1²+2²+3²+....+n²= (n(n+1)(2n+1))/6 ?
    Eh bien oui : "On suppose que f(n) est vrai et on démontre que f(n + 1) est vrai lorsque f(n) est vrai ".

    Non ça doit être par récurrence, c'est le but de l'exercice

    Ce que j'ai dit ci dessus est juste ?

    merci

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  18. #13
    Lagoon

    Re : Démonstration par récurrence

    Ben je n'ai jamais procéder comme tu as fait au-dessus, mais toujours comme je l'ai fais dans mon post, qui est une récurrence tout ce qu'il y a de plus simple.
    En gros tu additiones (n+1)² a ton hypothèse et ca se simplifie très vite pour trouver le bon résultat..

  19. #14
    Lagoon

    Re : Démonstration par récurrence







    Récurrence établie (et premier test Latex au passage !)

  20. #15
    zapple

    Re : Démonstration par récurrence

    Y'a quand meme beaucoup plus simple. J'avais dis

    f(k+1)=f(k)+(k+1)². Apres c'est que du calcul.
    Remplacez f(k) par sa valeur (hypothese de récurrence) dans l'expression f(k+1) :

    f(k+1)=, et calculez ce que ca donne

  21. #16
    Lagoon

    Re : Démonstration par récurrence

    Y'a quand meme beaucoup plus simple.
    C'est exactement ce que j'ai fais

  22. #17
    ericcc

    Re : Démonstration par récurrence

    Il serait intéressant de savoir quelle démonstration Bernoulli (au fait lequel ?) a trouvée.

  23. #18
    Bleyblue

    Re : Démonstration par récurrence

    Bon, je crois que je vais attendre le début des cours pour m'attaquer à ces exercices.

    Je voulais anticiper un peu sur mon cours de math. de cette année. (qui débutera d'ici deux semaines) mais visiblement je ne maîtrise pas encore la récursivité.

    merci à tous !

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  25. #19
    martini_bird

    Re : Démonstration par récurrence

    Salut,

    Citation Envoyé par ericcc
    Il serait intéressant de savoir quelle démonstration Bernoulli (au fait lequel ?) a trouvée.
    Ca n'a pas changé depuis le message #4: c'est toujours Jacob.

    Celui-ci a donc écrit la somme sous la forme d'un polynôme de degré p+1 en n et a surtout déterminé une relation de récurrence entre les coefficients de ces polynômes.

    Cordialement.

  26. #20
    Bleyblue

    Re : Démonstration par récurrence

    Bon je reviens à la charge parce que je n'y suis toujours pas en fait :

    S(n) = 1² + 2² + 3² +... + n² =

    On sait que S(n) = S(n-1) +n²

    1) On vérifie que S est bien vrai pour n = 1
    2) On doit démontrer que si S est vrai pour n = k (k naturel > 1)alors S est aussi vrai pour k + 1

    S(k+1) =

    =

    =

    =

    = S(k) +

    =S(k) + k² + 2k + 1

    = S(k) + (k +1)² ce qui est bien conforme à S(n) = S(n-1) +n² avec ici n = (k + 1) donc c'est démontré.

    Il y a quelque chose à reprocher à ce raisonnement ou bien c'est juste ?

    merci

  27. #21
    Bleyblue

    Re : Démonstration par récurrence

    J'ai été demandé à un professeur assistant aujoud'hui.

    Il a dit que ma démonstration était tout à fait juste, même si elle est un peu "bizarrement construite"

    merci à tous

  28. #22
    Superdumas

    Re : Démonstration par récurrence

    Tu peux essayer de faire la même chose pour les cubes.
    Il faut déjà essayer de conjecturer la formule (si tu connais la somme des k allant de 1 à n c'est assez facile en faisant quelques tests).

    Et tu démontres par récurrence !

  29. #23
    Bleyblue

    Re : Démonstration par récurrence

    C'est déja fait, cette formule est en fait la première d'une série de quatre formules que j'ai dut démontrer. La deuxième de ces quatres formules c'est la même avec des cubes à la place des carrés

    merci

  30. #24
    Superdumas

    Re : Démonstration par récurrence

    Bon bah essaye alors la somme des k (k+1).

    Et des k (k+1) (k+2).


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  32. #25
    Bleyblue

    Re : Démonstration par récurrence

    Je peux essayer ça alors oui.

    merci

  33. #26
    Romain-des-Bois

    Re : Démonstration par récurrence

    Juste pour dire que les méchants khôlleurs, ils te disent : démontrez la formule, mais sans utiliser la récurrence comme si vous ne connaissiez pas la formule...

    PS : BleyBlue : tu es à quel niveau d'études ? (et quel est son homologue français ?)

  34. #27
    Bleyblue

    Re : Démonstration par récurrence

    Citation Envoyé par Romain29
    PS : BleyBlue : tu es à quel niveau d'études ? (et quel est son homologue français ?)
    Je suis sorti de réthorique (de terminale) en juin 2004, section science math (ça correpond à une terminale S en France je pense ? Quoiqu'il en soit ça veut dire que j'avais 7h de math + 7h de sciences (chimie bio physique) par semaine)
    Ensuite j'ai fait une année de médecine à l'université (catastrophique, hormis en math ) et maintenant je suis en première année d'informatique, toujours à l'université (c'est à dire en 1ère année de Bachelier, mais en France vous appelez ça une licence), et bien décidé à réussir
    Dernière modification par Bleyblue ; 02/10/2005 à 15h47.

  35. #28
    Superdumas

    Re : Démonstration par récurrence

    Citation Envoyé par Romain29
    Juste pour dire que les méchants khôlleurs, ils te disent : démontrez la formule, mais sans utiliser la récurrence comme si vous ne connaissiez pas la formule...
    Si c'est pour les k(k+1) et Cie, si tu connais la somme des k, y a effectivement pas besoin de récurrence. Suffit de poser k'= k + 1 et puis la suite est pas dure.

    Mais faut que le méchant khôlleur accepte la somme des k...

  36. #29
    boum-plouf

    Re : Démonstration par récurrence

    Soit la suite définie par Uo=1/3
    et U(n+1)=((n+1)/3n) * Un

    Et il faut montrer par réccurence que Un=n/3^n ...

    Mais la jvois pas comment montrer l'hérédité..

    Besoin d'aide !!

    Merciii

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