Démonstration par Récurrence [TS]

[invitea7a3849b]

Bonsoir à tous,


J'ai un petit exo sur les démonstrations par récurence et je dois avouer que je bloque un peu...

J'aimerai un coup de main pour pouvoir me débloquer svp.... Voici l'exo en question :


" On s'interesse ici à la somme S_n des cubes n premiers entiers naturels impairs.

1° Calculer S₁ S₂ S₃

2° Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n>ou égal à 1, on a S_n = 2n⁴ - n²

3° Quel est l entier n pour lequel S_n = 41 328




Tout d'abord la question 1, j ai trouvé :

S₁ = 1
S₂ = 28
S₃ = 153

Pour la question 2° ça se complique....

Je sais pas comment attaquer, j avais pensé à exprimer S_n d'une différente manière mais je ne sais pas quoi en faire....

Pour moi S_n = 1³ + 3³ + ..... + ( 2n+1 ) ³

Je suis pas sur que se soit d une grande utilité....


Je vous remercie par avance .


Cordialement
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[Flyingsquirrel]

Salut,

" On s'interesse ici à la somme S_n des cubes n premiers entiers naturels impairs. (...)

2° Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n>ou égal à 1, on a S_n = 2n⁴ - n² (...)

Je sais pas comment attaquer, j avais pensé à exprimer S_n d'une différente manière mais je ne sais pas quoi en faire....

Pour moi S_n = 1³ + 3³ + ..... + ( 2n+1 ) ³

Presque. Avec ta formule on a ce qui n'est pas la somme des cubes des deux premiers entiers naturels impairs, il y a un terme en trop qu'il faut retirer : .

Ensuite, une fois l'initialisation de la récurrence faite, on suppose qu'il existe un entier naturel non nul pour lequel on a (hypothèse de récurrence). À partir de cela on veut montrer que .

On part de l'hypothèse de récurrence :
On ajoute des deux côtés pour faire apparaître à gauche : que l'on peut réécrire . Il reste à montrer l'égalité pour pouvoir conclure.

[invitea7a3849b]

Premierement je te remercie pour ta réponse mais je m'excuse je comprends pas trop.

Tout d'abord dans l initialisation :
Pourquoi le 2 est présent ? C'est un nombre paire et deuxièmement ( 2n-1 ) doit etre élevé au cube non ?

Je te remercie par avance

[Flyingsquirrel]

Tout d'abord dans l initialisation :

Je n'ai pas fait l'initiallisation. J'ai juste calculé pour te montrer que l'on doit s'arrêter à et non à . (ceci dit je t'accorde que lorsque j'écris "Ensuite, une fois l'initialisation de la récurrence faite..." ça prête à confusion)

Pourquoi le 2 est présent ? C'est un nombre paire et deuxièmement ( 2n-1 ) doit etre élevé au cube non ?

Oui, effectivement, j'aurais dû écrire ...

Version corrigée de mon message précédent :

Salut,

" On s'interesse ici à la somme S_n des cubes n premiers entiers naturels impairs. (...)

2° Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n>ou égal à 1, on a S_n = 2n⁴ - n² (...)

Je sais pas comment attaquer, j avais pensé à exprimer S_n d'une différente manière mais je ne sais pas quoi en faire....

Pour moi Sⁿ = 1³ + 3³ + ..... + ( 2n+1 )³

Presque. Avec ta formule on a ce qui n'est pas la somme des cubes des deux premiers entiers naturels impairs, il y a un terme en trop qu'il faut retirer : .

Pour l'initialisation, on montre que (ça n'est pas très dur ). Ensuite, pour prouver l'hérédité, on suppose qu'il existe un entier naturel non nul pour lequel on a (hypothèse de récurrence). À partir de cela on veut montrer que .

On part de l'hypothèse de récurrence :
On ajoute des deux côtés pour faire apparaître à gauche : que l'on peut réécrire . Il reste à montrer l'égalité pour pouvoir conclure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7a3849b]

Merci pour ta réponse, tu m as bien expliqué.