E(X \mathbb 1_{Y= 5} ) = E(X | Y = 5) * E( \mathbb 1_{Y= 5} )

**sleinininono** · 02/10/2019, 16h33

Bonjour,

pourquoi est ce que cela est vrai ?

$\text{[math]}$

où X et Y sont des variables aléatoires.

je n'arrive pas à comprendre d'où cela vient, hormis d'une explication logique et intuitive.

merci.

**minushabens** · 02/10/2019, 17h16

il suffit d'appliquer la définition de l'espérance conditionnelle. C'est une application qui est 1_{Y=5} - mesurable. La variable aléatoire 1_{Y=5} prend les valeurs 0 et 1 sur la partition de l'espace probabilisé ({Y=5},{Y<>5}) donc l'espérance conditionnelle doit être constante sur chacun de ces deux ensembles, et son intégrale doit être égale à ... je te laisse finir.

**sleinininono** · 02/10/2019, 19h46

merci pour la réponse !

je suis plutôt embêté car je comprends ce que vous dites mais je ne vois pas le rapport. Pourquoi vous me demandez ça ? désolé.

**minushabens** · 03/10/2019, 15h21

Donc tu ne connais pas la définition de l'espérance conditionnelle.

Si X est une variable aléatoire sur {Omega,F,P) et si G est une sous-tribu de F, l'espérance conditionnelle E(X|G) est une fonction G-mesurable telle que pour tout A dans G l'intégrale de E(X|G) sur A soit égale à l'intégrale de X sur A.

Dans ton cas, la tribu à considérer est la tribu engendrée par l'événement Y=5. Cette tribu a quatre éléments, c'est G={vide, {Y=5},{Y<>5},Omega}. Une application G-mesurable est juste une application constante sur {Y=5} et sur {Y<>5}. Maintenant, tu choisis un élément A de G, et en fait il suffit de regarder A={Y=5}. L'intégrale sur A de X est simplement le membre de gauche de ton égalité. Puisque E(X|Y=5) est constante sur A, son intégrale sur A est égale à cette constante multipliée par P(A)=P(Y=5) et tu as ton membre de droite (car P(Y=5)=E(1_{Y=5}) )

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**sleinininono** · 03/10/2019, 22h18

je crois avoir presque compris... il faut m'excuser je n'ai que de très faibles notions de théorie de la mesure. J'ai néanmoins réussi à comprendre ce qu'il se passe.

Ce sur quoi c'est encore brumeux, c'est comment passe-t-on du LHS à une espérance conditionnelle dont vous parlez ? Est ce que l'on utilise la formule de l'espérance totale (comme probabilité totale mais avec des espérances)? En fait vous ne parlez pas du membre de gauche mais seulement d'espérance conditionnelle...

merci !

**minushabens** · 04/10/2019, 01h40

qu'est-ce que LHS ?

**sleinininono** · 04/10/2019, 13h14

LHS correspond à left hand side, i.e. le membre de gauche de l'équation.

**minushabens** · 04/10/2019, 14h51

Si je pose A={omega | Y(omega)=5} le membre de gauche de l'égalité est bien l'intégrale de X sur A, je ne vois pas ce que tu ne comprends pas. Le membre de droite est l'intégrale de E(X|Y=5) sur A, comme je l'ai expliqué plus haut. L'égalité résulte de la définition de l'espérance conditionnelle.

E(X \mathbb 1_{Y= 5} ) = E(X | Y = 5) * E( \mathbb 1_{Y= 5} )

E(X \mathbb 1_{Y= 5} ) = E(X | Y = 5) * E( \mathbb 1_{Y= 5} )

Re : E(X \mathbb 1_{Y= 5} ) = E(X | Y = 5) * E( \mathbb 1_{Y= 5} )

Re : E(X \mathbb 1_{Y= 5} ) = E(X | Y = 5) * E( \mathbb 1_{Y= 5} )

Re : E(X \mathbb 1_{Y= 5} ) = E(X | Y = 5) * E( \mathbb 1_{Y= 5} )

Re : E(X \mathbb 1_{Y= 5} ) = E(X | Y = 5) * E( \mathbb 1_{Y= 5} )

Re : E(X \mathbb 1_{Y= 5} ) = E(X | Y = 5) * E( \mathbb 1_{Y= 5} )

Re : E(X \mathbb 1_{Y= 5} ) = E(X | Y = 5) * E( \mathbb 1_{Y= 5} )

Re : E(X \mathbb 1_{Y= 5} ) = E(X | Y = 5) * E( \mathbb 1_{Y= 5} )

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