Vecteurs colinéaires, parallèles et points alignés

[Mirette93]

Bonjour.
Suite à un exercice fait en classe j'aimerai savoir si deux vecteurs colinéaires ont toujours leurs point alignés. En effet dans le cours, il y a écrit A,B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. De même, les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
Le si et seulement si signifiant l'équivalence alors des vecteurs colinéaires sont toujours alignés et parallèles à la fois; ou seulement l'un ou l'autre ?
Ainsi dans mon exercice dont voici l'énoncé :
Soient le vecteur v(1;2) et les points A(-1;2) et B(1;4)
BC(-2/3;-4/3)
Déterminer une équation de la droite D1 passant par le point A et de vecteur directeur v.

J'ai pensé que comme v est le vecteur directeur de D1 alors A, B et C sont alignés car le vecteur BC et le vecteur v sont colinéaires.
En effet si v est le vecteur directeur de D1 alors il est v et D1 sont colinéaires. Or BC et v sont colinéaires donc D1 et BC sont colinéaires. Alors D1 passe par A, B et C. Ainsi pour déterminer une équation de cette droite, on peut trouver :
-4/3x + 2/3y + c = 0

le vecteur AM passe par B donc les coordonnées du point B vérifient l'équation :

-4/3*1 + 2/3*4+ c = 0 donc c = - 4/3

Dans la correction, on utilise simplement le fait que AM(x+1;y-2) et V(1;2) sont colinéaires et M est sur D1 Donc
2*(X+1)- 1*(y-2)=0
2x-y+4=0
Pourquoi n'obtiens-je pas le même résultat avec mon raisonnement s'il vous plaît?


Merci.
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[gg0]

Bonjour.

Première chose : Les vecteurs n'ont pas de points. Même si on écrit le vecteur est défini par ces deux points ... ou par deux autres : Si ABDC est un parallélogramme, et tu n'as plus de point A ou B. Tu peux même prendre C où tu veux : Le vecteur est partout et nulle part.

Maintenant, deux vecteurs colinéaires ont la même direction, donc si où a est différent de B et C de D, alors les directions des vecteurs (celles des droites (AB) et (CD) ) sont les mêmes : Les droites sont parallèles. On pourrait dire "les vecteurs sont parallèles", mais on préfère dire qu'ils sont colinéaires. Par contre on ne parlera jamais de vecteurs alignés, puisque les vecteurs ne sont pas des points, et que même les points qui servent à les désigner sont anecdotiques.

Pour ton exercice :

"J'ai pensé que comme v est le vecteur directeur de D1 alors A, B et C sont alignés car le vecteur BC et le vecteur v sont colinéaires." ?? v n'est pas le vecteur AB. Tu as vu quelque chose d'intéressant, mais ensuite tu as voulu t'en servir en faisant "comme si" !!
Si tu avais fait un dessin, placé dans un repère A, B, C et un représentant du vecteur u, tu n'aurais jamais dit ça.

Cordialement.