Permutation limite et somme (exo de mesure)

invitec3b608ea · 03/10/2019, 20h28

Bonjour à tous,

Je reprends actuellement un cours de mesure après avoir arrêté les maths pendant quelques années, mes notions ne sont plus très fraîches et je cale sur un exercice introductif.

Je vous présente donc l'exercice :

Soit $(X, \mathcal{A})$ un espace mesurable, $(\mu_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite croissante de mesures sur $\mathcal{A}$ i.e $\mu_n(A)\leq\mu_{n+1}(A)\ \forall n \in \mathbb{N}$ et $\forall A\in\mathcal{A}$ .
Alors d'une part $\mu(A)=\lim_{n\rightarrow +\infty}\mu_n(A)$ existe $\forall A\in \mathcal{A}$ et d'autre part $\mu$ est une mesure sur $\mathcal{A}$ .

Pour répondre au point 1. on constate simplement que la suite $\mu_n(A)$ est croissante et admet donc une limite (éventuellement infinie) qu'on notera $\mu(A)$ .

Vérifier que $\mu(\varnothing)=0$ et $\mu(A) \geq 0 \ \forall A \in \mathcal{A}$ ne pose pas problème, mais lorsque l'on veut montrer la $\sigma$ -additivité, on est tenté de poser pour une suite $(A_k)\subset \mathcal{A}$ disjoints deux à deux:

$\mu=$\bigcup\limits^{\bullet}A_k$=\lim_{n\rightarrow+\inf}\sum\limits_{k}^{+\infty}\mu_n(A_k)=\sum\limits_{k}^{+\infty}\lim_{n\rightarrow +\infty}\mu_n(A_k)=\sum\limits_{k}^{+\infty} \mu(A_k)$

et conclure... La question qui se pose étant : $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sum\limits_{k}^{+\infty}\mu_n(A_k)=\sum\limits_{k}^{+\infty}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\mu_n(A_k)$ ?

Ce sont bien les critères qui me permettent de permuter la somme et la limite qui me posent ici problème... Je suis retombé sur l'idée qu'il faut demander la convergence uniforme dans $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} f_n \longrightarrow\limits^{u} f$ pour avoir
$\lim\limits_{x\rightarrow a}\sum\limits_{n=1}^{+\infty} f_n (x) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\li_{x\rightarrow a} f_n (x)$ . Mais je ne vois pas bien comment transposer ceci à ma question ni comment aborder le problème...

Un coup de main serait le bienvenu !

Merci à ceux qui ont lu et bonne soirée !

**pilum2019** · 04/10/2019, 14h22

D'abord , on peut supposer que Somme des U(A_k) est finie, car sinon l'égalité est presque immédiate.
On suppose aussi que l'indice k va de 0 à +oo.

Donc on suppose que Somme des U(A_k) est finie.
On pose alors f(k) = U(A_k) et f_n(k) = U_n(A_k)
Tu as donc des fonctions f_n et f définies sur N, avec f_n qui constitue une suite croissante de fonctions convergeant simplement vers f.

Comme Somme de f(k) est finie, tu appliques le théorème de convergence monotone et ceci prouve que :
lim Somme des f_n(k) = Somme des [lim f_n(k) ]= Somme des f(k).

Et tu as alors le résultat demandé.

D'habitude on emploie le théorème de convergence monotone sur des intégrales clasiques, mais rien n'empêche de l'appliquer sur une somme dénombrable qui est une forme "d'intégrale".

**pilum2019** · 04/10/2019, 14h30

PS : j'ai voulu modifier le message précédent, mais impossible de le faire.
Désolé pour le sans latex.

invitec3b608ea · 04/10/2019, 19h12

Merci beaucoup !

Votre message me paraît parfaitement approprié. Je me demande seulement :

1) est-il nécessaire d'avoir Somme des U(Ak) finie pour appliquer le th. de convergence monotone ? (ne semble pas dans les conditions : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...gence_monotone )

2) car dans le cas contraire je retombe sur le problème de la permutation somme/limite pour dire que Somme des U(Ak) infinie entraine limite Somme des Un(Ak) même si cela semble "intuitif", je ne trouve pas qu'il soit immédiat de conclure l'égalité.

3) je trouve également "intuitif" qu'un résultat sur l'intégrale soit transposable à la série, mais pour affirmer cela, il faudrait repasser par la définition de l'intégrale ? (définie comme série avec les sommes de Darboux par exemple dans le cas de l'intégrale de Riemann)

Encore merci beaucoup, je pinaille mais votre message me sors du pétrin !

(et pas de problème pour le "sans latex", j'ai repris vos notations, plus facile)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**pilum2019** · 04/10/2019, 20h11

1) C'est vrai : pas besoin d'avoir la convergence de la série de U(A_k).
Le théorème de convergence monotone fonctionne même si cette série diverge vers +oo.

2) Sinon, au cas où le précédent théorème n'aurait pas marché dans le cas infini, l'égalité (Eoo)

U [union des A_k ]= Somme des U(A_k) = +00.

est facile à montrer.
En effet U[ union des A_k pour k allant de 0 à m] = Somme des U(A_k) pour k allant de 0 à m, où m est un entier quelconque.
A noter que l'additivité FINIE ne pose aucun problème à démontrer pour la mesure U.

Or Si A est inclu dans B, alors U(A) <= U(B) ; là encore, par passage à la limite, cette propriété d'ordre ne pose aucun problème à démontrer.
Donc
U [union des A_k ] > = U[ union des A_k pour k allant de 0 à m];
Ensuite, on fait tendre m à l'infini et on obtient l'égalité (Eoo) citée plus haut.

**pilum2019** · 04/10/2019, 20h50

3) On peut directement adapter la démonstration, célèbre, de la convergence monotone pour un cas dénombrable.

invitec3b608ea · 04/10/2019, 20h57

Je comprends votre raisonnement...

L'idée qui me travaille par rapport à ceci est que, je vous rejoins sur ce point :

$\mu$ \bigcup\limits_{k=0}^{m}A_k $= \sum\limits_{k=0}^{m} \mu$A_k$$ ;

mais comment alors prétendre par passage à la limite $\mu$ \bigcup\limits_{k=0}^{\infty}A_k $= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \mu$A_k$=+\infty$ ?? on se retrouve à un problème de type $\lim\limits_{n\rightarrow\inft}f(x_n) =f(\lim\limits_{n\rightarrow\ioo}x_n)$ et on doit alors rentrer dans des considérations sur la continuité dont on ne sait rien il me semble.

invitec3b608ea · 04/10/2019, 20h58

Envoyé par pilum2019

3) On peut directement adapter la démonstration, célèbre, de la convergence monotone pour un cas dénombrable.

Ok, je regarderai à ça ! en attendant je vous fait confiance ainsi qu'au résultat, c'est "conforme à l'intuition" de pouvoir porter le résultat sur l'intégrale à la série.

**pilum2019** · 04/10/2019, 21h33

Je comprends votre raisonnement...

L'idée qui me travaille par rapport à ceci est que, je vous rejoins sur ce point :

;

mais comment alors prétendre par passage à la limite ?? on se retrouve à un problème de type et on doit alors rentrer dans des considérations sur la continuité dont on ne sait rien il me semble.

Il suffit de regarder la démonstration du point 2, un post plus haut....

**pilum2019** · 04/10/2019, 21h39

Je peux vous donner ou vous indiquer la démonstration du point 3 , si vous voulez.

invitec3b608ea · 04/10/2019, 22h15

Bon, ok après réflexion approfondie...

Je pensais qu'on affirmait sans certitude $lim\limits_{m\rightarrow +\infty} \mu $ \bigcup\limits_{k=0}^{m}A_k $= \mu$ \bigcup\limits_{k=0}^{\infty}A_k $$ , ce n'est pas le cas.

Désolé, je me suis embrouillé !

Je suis tout à fait preneur quant à des indications pour la preuve.

Votre aide a été très précieuse et très claire (c'est bien moi qui avait mal compris cette étape...) !

**pilum2019** · 04/10/2019, 22h37

Deamin la preuve, après Angleterre Argentine.

**pilum2019** · 05/10/2019, 13h15

voici la démo, sous forme de devoirs :

th_conv_monotone.pdf

invitec3b608ea · 05/10/2019, 17h00

Super ! ça me semble clair...

Voici ce que j'obtiens (en pièce jointe jpg) sur base du sketch que vous me proposez.

On utilise le "m" au point 2 pour pouvoir obtenir Il existe N Pour tout k à la place de Pour tout k Il existe N n'est-ce pas ? (pour ne pas avoir à demander la convergence uniforme des fn(k)vers f(k) en fait)

**pilum2019** · 05/10/2019, 19h32

Oui oui c'est ça. L'entier m est fixé en début de démonstration, pour éviter la convergence uniforme.

Mais attention, le réel c est STRICTEMENT plus petit que 1.

invitec3b608ea · 05/10/2019, 20h40

Oui oui, tout à fait : pour moi la notation [a,b) correspond à [a,b[ . (je conçois que ça puisse porter à confusion)

Un énorme merci pour votre aide, c'était au poil !

Bon match

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