permutation d'une intégrale et somme

[bob555]

Salut
j'ai quelques questions :
1) on a
mais pourquoi Re(z)> 1?? et que veut dire "intégrale est convergente?"
ma seconde question:
J'ai que et que .
Alors comment justifier la permutation de l'intégrale et la somme ? Afin d'obtenir :
? et quelle condition on doit imposer sur Re(z) pour pouvoir permuter la somme et l'intégrale ?


merci pour votre aide
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[Tiky]

Pour la première question. On a que . Donc

On s'intéresse à l'absolue convergence de l'intégrale.

Or tu dois savoir que converge si et seulement si , d'où la conclusion.

Pour la second question, on peut essayer avec la transformation d'Abel, sauf erreur, on a :


Avec un peu de calculer, tu peux déterminer que est borné (voir noyau de Dirichlet).

Tu en déduis en passant à la limite que :


La série est normalement convergente donc uniformément convergente sur .

J'avais d'abord penser à utiliser Fubini mais cela ne fonctionne pas. Il reste éventuellement le théorème de la convergence dominée.

[bob555]

merci Tiky pour ces explications mais j'ai encore quelques questions:
on a
lorsque \hspace{ 0.3 cm} Re(z)>0,

et que lorsque Re(z)<0 (pourquoi??)

et comment peut-on en déduire que:



merci

[Tiky]

Ne connaissant pas cette formule, je suis aller voir sur Wikipédia. Il s'agit de la formule sommatoire d'Abel.

On remarque que
Donc

On a donc convergence absolue si
Il y a peut-être convergence pour d'autre valeur mais ce sera plus difficile à montrer.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio...Ata_de_Riemann

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Je pense que la dernière formule est en fait :

[bob555]

salut,
on fait pour la dernière égalité, vu la première égalité et le fait que
que je présume valable si Re(z)>-1(je le déduit de la dernière formule mais je ne sait pas le justifier )

merci

[bob555]

salut
désolé je me suis trompé c'est
qu'on dit que c'est valable lorsque Re(z) >-1 mais je ne sait tjrs pas comment le prouver
auriez-vous une idée?

merci

[Armen92]

De mémoire, ces questions sont traitées dans le Lang "Complex Analysis" (Springer) et dans le livre de Titchmarsh "The Riemann Zeta Function"

[bob555]

ok j'irai voir merci