Minimiser une fonctionnelle

[CyrusSmith]

Bonjour,

Je cherche à minimiser la fonctionnelle suivante :



... sur l'ensemble des fonctions

... sous la contrainte où g est une fonction positive continue fixée, avec g(0)=0.

Des idées ?

Cordialement
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[Resartus]

Bonjour,

Sauf erreur, la trajectoire optimale est l'enveloppe convexe de la fonction g, entre 0 et le point le plus haut de g, suivie d'une droite horizontale jusqu'à t=1
.
Pour expliciter un peu : à partir de l'origine, si on trace la droite passant par 0 et tangente à g au point (t1, g1) qui est un point obligé, cette droite est la fonction qui minimise l'intégrale de f'² entre ces deux points*.
Idem sur la tangente vers l'extremum suivant entre t'1 g'1 et t2, g2

Entre les deux points g1 et g'1, la fonction f est contrainte par l'obligation d'être supérieure à g, et lui est égale.

Mais une fois arrivé au maximum de g, la fonction f n'a pas de raison de redescendre et reste horizontale au niveau atteint

*On peut le démontrer directement, ou bien remarquer que c'est la trajectoire d'une particule libre entre deux points fixés, dans la formulation lagrangienne de la mécanique

[Tryss2]

J'ajouterai qu'il s'agit en gros de minimiser une fonctionnelle convexe sur un domaine convexe, ce qui est un cadre plutôt sympathique

[CyrusSmith]

Merci pour vos réponses ; il semble clair que c'est la bonne solution ! Concernant la démonstration, si j'ai bien compris, on a un ensemble de points de passage obligé pour la fonction minimisante, et on minimise par morceaux sur chaque intervalle dont les extrémités sont des points de passage consécutifs. On utilise pour cela un parallèle avec la trajectoire d'une particule libre dans la formulation lagrangienne de la mécanique, qui nous fournit une solution (la ligne droite) qui vérifie a posteriori la contrainte (du fait de la définition des points de passage obligé ?)
Comment déterminer cet ensemble des points de passage obligé ?

[A voir en vidéo sur Futura]