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Minimiser une fonctionnelle



  1. #1
    CyrusSmith

    Minimiser une fonctionnelle


    ------

    Bonjour,

    Je cherche à minimiser la fonctionnelle suivante :



    ... sur l'ensemble des fonctions

    ... sous la contrainte où g est une fonction positive continue fixée, avec g(0)=0.

    Des idées ?

    Cordialement

    -----

  2. #2
    Resartus

    Re : Minimiser une fonctionnelle

    Bonjour,

    Sauf erreur, la trajectoire optimale est l'enveloppe convexe de la fonction g, entre 0 et le point le plus haut de g, suivie d'une droite horizontale jusqu'à t=1
    .
    Pour expliciter un peu : à partir de l'origine, si on trace la droite passant par 0 et tangente à g au point (t1, g1) qui est un point obligé, cette droite est la fonction qui minimise l'intégrale de f'² entre ces deux points*.
    Idem sur la tangente vers l'extremum suivant entre t'1 g'1 et t2, g2

    Entre les deux points g1 et g'1, la fonction f est contrainte par l'obligation d'être supérieure à g, et lui est égale.

    Mais une fois arrivé au maximum de g, la fonction f n'a pas de raison de redescendre et reste horizontale au niveau atteint

    *On peut le démontrer directement, ou bien remarquer que c'est la trajectoire d'une particule libre entre deux points fixés, dans la formulation lagrangienne de la mécanique
    Dernière modification par Resartus ; Aujourd'hui à 15h25.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

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