Caractéristique Euler Poincaré du Cross cap, la surface romaine de Steiner et la surface de Boy

[invite71096ddf]

Bonjour,
Il me faudrait une confirmation ou une explication concernant les surfaces topologiques mentionnées dans l'intitulé du post.
Me confirmez vous que la valeur de la caractéristique Euler Poincaré permet coïncide avec le nombre de pôles que présente une surface en général, qu'elle soit orientable ou non ?
Surtout, plus précisément, est-ce que le Cross Cap présente, tout comme la surface de Boy, un et un seul pôle lui aussi ?
Enfin, est-ce le cas également de la surface romaine de Steiner ?
Merci à la communauté par avance pour vos réponses.
Fabrice39
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[invite9dc7b526]

bonsoir,

je ne connaissais pas la notion de pôle d'une variété, et je viens de regarder par curiosité. Ca n'est pas une notion topologique, puisqu'elle dépend de l'existence de géodésiques, d'espaces tangents... donc peut-être que ta question devrait être précisée (?)

[invite71096ddf]

Bonsoir Minusabens,

Oui, en effet, en fait, plus précisément, je n'arrive pas à trouver sur le net la caractéristique Euler Poincaré, spécifiquement pour le cross cap. Pour la sphère, cette caractéristique est de 2, pour le tore, elle est de 0, pour la surface de Boy, elle est de 1, pour le ruban de Mœbius, elle est de O...
La notion de pôle est liée en effet aux géodésiques, et apparaît par exemple après maillage (méridiens et parallèles) d'une surface, soit 2 pôles après maillage de la sphère, mais 0 pôle pour un tore.
Et si je ne me trompe pas, ce qui est loin d'être sûr, il y aurait correspondance entre caraterisque d'Euler Poincaré et nombre de pôle de la surface.
Merci pour ta reponse

[Resartus]

Bonjour,
Cela ne peut pas marcher tel quel, parce qu'il existe des surfaces avec caractéristique négative : Un tore auquel on rajoute une anse par exemple a une caractéristique de -2, et chaque anse additionnelle retire 2 .
Et du coté des surfaces non orientables, ce n'est pas mieux. un cross cap isolé (ou, ce qui est équivalent, rattaché à une sphère) a une caractéristique de 1, mais on peut en rattacher d'autres, et chacun diminue la caractéristique de 1. Une sphère avec quatre crosscaps aurait ainsi une caractéristique de -2.

Je ne vois pas très bien comment définir des "pôles" sur de telles surfaces, et à vrai dire, je ne vois pas non plus ce que vous fait dire qu'il y aurait un pôle unique sur les surfaces non orientables de caractéristique 1 que vous citez.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite71096ddf]

Bonsoir Resartus,
Merci pour votre réponse.
Voici le lien du site Mathcurve qui m'a servi de point de départ https://www.mathcurve.com/surfaces/e...poincare.shtml
Ce site donne comme caractéristique Euler Poincaré du plan projectif le nombre 1. Mais l'immersion du plan projectif qu'il présente est le cross cap seul, si je ne me trompe soit une bande de mœbius suturée et close par un disque. Pouvez vous me confirmer que c'est bien le cas ? Pour la surface de boy, la composition relève du même procédé à ceci près qu'il s'agit d'une bande de Moebius à trois demi-torsions suturée et close par un disque donnant une caractéristique de 1 également.
Je voudrai la confirmation que les caractéristiques de ces deux immersions du projectif pour ces deux surface élémentaires, non combinées, sont bien exactes.
J'ai saisi ce que vous m'avez expliqué concernant les combinaison de surfaces.
En ce qui concerne la notion de pôle, je vais reformuler ma question espérant être mieux saisi : s'agit-il en général d'une singularité intrinsèque ou extrinseque aux surfaces. Pour prolonger, les points cuspidaux et la ligne d'auto-traversée qui apparaissent lorsque l'on immergé le coss cap dans l'espace 3 ou 2 dimensions disparaissent en 4 dimensions, si je ne trompe pas. Il s'agit donc de singularité qui disparaisse lorsque le cross cap est plongé dans la dimension. Qu'en est-il du statut du pôle (comme on parle des deux pôles sur une sphère), autrement dit de quel sorte de singularité s'agit il ?
Espérant être plus compréhensible, et vous remerciant des informations que vous m'apportez.

[invite9dc7b526]

Encore une fois, je ne connais pas trop le sujet, mais je ne pense pas qu'un pôle soit une singularité. Je pense que tu as tort de chercher une correspondance entre existence de pôles et caractéristique d'Euler, parce que cette dernière est un invariant topologique, alors que si tu déformes une surface, je ne suis pas sûr que tu ne vas pas avoir des pôles qui disparaissent, ou qui confluent (à discuter par quelqu'un de plus informé que moi toutefois).

[Resartus]

Bonjour,
Le point qui s'apparente le plus à ce que vous appelez des pôles seraient les zéros des champs de vecteurs qu'on peut définir sur une surface.
(ces zéros peuvent se placer n'importe où sur la surface, ce ne sont pas des singularités)

Je vous invite à voir le théorème de poincaré Hopf, qui concerne en effet l'égalité entre la somme des indices de ces zeros et la caractéristique d'euler poincaré.
Les conditions sont plus strictes, car il faut que la surface soit une variété différentielle, mais cela marche pour l'essentiel.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Poincaré-Hopf est très laconique.
Il y a sans doute mieux sur des sites spécialisés en maths

[invite71096ddf]

Merci Minushabens et merci Resartus pour vos réponses. Le fait que la notion de pôle conçu comme les zéros d'un champ de vecteurs laisser 1- qu'il ne s'agisse pas de singularités, la possibilité d'y apposer un plan tangent va dans ce sens ; 2- qu'il puisse être positionné n'importe où sur une surface me semble impliquer qu'il s'agit bien d'un propriété intrinsèque à la surface, si la surface en question en possède bien au moins un (hors tore unique donc par exemple).
Enfin, il me semble.

[Resartus]

Bonjour,
On peut créer des champs de vecteurs qui ont autant de zeros* qu'on le veut, aux endroits qu'on veut, et avec les indices qu'on veut. Mais simplement la somme de tous ces indices est contrainte, et doit donner la caractéristique.

Par exemple, on peut créer sur la sphére un champ qui a autant de zeros points-selle (d'indice 0)qu'on le souhaite, en plus de deux zeros d'indice 1.

Ou bien (plus compliqué à visualiser), on peut avoir un seul zero d'indice 2 n'importe où sur la sphére, et aucun autre zero.

Ce ne sont donc pas des zeros "intrinséques", puisque on peut choisir le champ presque comme on le veut. La seule propriété qui l'est est la caractéristique d'Euler, c'est à dire la somme des indices...


*Le théorème est valable pour des zeros isolés. Il existe apparemment une généralisation pour des lignes continues de zero, mais je ne sais pas comment cela fonctionne...

[invite9dc7b526]

Il existe apparemment une généralisation pour des lignes continues de zero(...)

la "boule chevelue" avec la raie au milieu?

pour Fabrice: il ne faut pas confondre singularité du champ de vecteurs et singularité de la surface.

[Resartus]

Bonjour,
@Fabrice39,
En y repensant, il y a une manière de retrouver la caractéristique d'euler pour les surfaces 2D plongées en 3D qui devrait mieux vous convenir, car plus proche de la méthode par triangulation d'Euler, et bien plus visuelle et intuitive que les indices des zeros de champs de vecteurs de Poincare-Hopf.
Il suffit de définir un axe des "hauteurs" dans R3 et d'étudier les points critiques de la fonction implicite qu'est cette hauteur (en regardant les coupes successives de la surface) :
un extremum (c'est à dire un endroit où la courbure de gauss de la surface est positive) compte pour 1, un col (courbure négative) pour -1.
Il est facile avec ce calcul de vérifier, par exemple qu'un tore à deux anses a 2 extrema et 4 cols, soit -2.

C'est un poil moins simple pour les surfaces non orientables : si la surface a plusieurs feuillets, il faudra les compter autant de fois que nécessaire.

[invite9dc7b526]

C'est la théorie de Morse n'est-ce pas? je ne l'ai jamais étudiée.

[invite71096ddf]

Merci à vous deux vraiment pour vos efforts, c'est que c'est un poil plus compliqué (clin d'œil à Resartus), et que c'est bien la question de la sphère chevelu que je questionne, autrement dit, les cacteristiques intrinsèques des surfaces orientable ou non, soit qui permet de les diffecier et les classer.
Je vais reformuler ma question plus directement : le cross cap, selon vous, possède-t-il un pôle, un et un seul, comme ce semble être le cas pour la surface de Boy ?
Merci encore pour vos réponses.

[Resartus]

Bonjour,
Décidément, vous n'arrivez pas à vous débarrasser de votre mot de pôle, dont on n'arrête pas de vous dire qu'il n'a pas de sens en topologie...
Oui, le cross cap a une caractéristique d'Euler de 1. Point barre.

[invite71096ddf]

OK Resartus, je laisse tomber la notion de pôle qui est donc extrinseque aux propriétés des surfaces élémentaire qu'elles soient orientables ou non. Je laisse donc tomber aussi le postulat d'une corresponde entre caractéristique Euler Poincaré et nombre de pôle.
Pouvez-vous me dire qu'elle valeur mathématique, ou degré d'existence mathématique à accorder aux singularités du Cross cap et de la surface de Boy (points cuspidaux, ligne d'auto-traversée, ou point triple) lorsque ces surfaces sont immergées en 3D ou 2D ?

[invite9dc7b526]

Ces éléments vont dépendre de l'immersion. Un point triple par exemple ne va pas résister à une petite déformation. Par contre une ligne d'autointersection va se déformer mais ne pourra pas toujours être éliminée (c'est bien connu).

[invite9dc7b526]

oublie ce que j'ai écrit sur le point triple. Je pensais à 3 courbes qui se coupent mais tu voulais parler de 3 surfaces.

[invite71096ddf]

Merci Minushaben. Par contre, plongées dans leur espace naturelle (minimun 4D), si on peut dire, ces singularités résultant de l'immersion en 3D ou 2D, disparaissent bien, n'est-ce pas ? Seule la caractéristique d'Euler Poincaré demeure comme invariant intrinsèque à ces surfaces ?