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Obtenir l'air d'une surface la plus proche de l'air d'une autre surface



  1. #1
    MrSee

    Question Obtenir l'air d'une surface la plus proche de l'air d'une autre surface

    Bonjour,

    Avec tous ces fabricants de Smartphones qui se vantent d'avoir le plus gros rapport surface_de_l'écran/surface_avant_du_Smartphone, je me demandais s'il était possible d'avoir un plus grand rapport encore en jouant sur les dimensions de l'écran, tout en gardant la même diagonale d'écran et le même espace entre le(s) haut/bas/bords du Smartphone et l'écran.

    Je vous ai fait un schéma pour que vous visualisez mieux mon problème.
    rapportASSsurASE.png
    Nous avons donc :
    • une hauteur de 10 mm entre le haut du Smartphone et l'écran, ainsi qu'entre le bas du Smartphone et l'écran
    • une largeur de 1 mm entre le bord gauche du Smartphone et l'écran, ainsi qu'entre le bord droit du Smartphone et l'écran
    • une diagonale d'écran de 139,7 mm
    • un écran de hauteur x, avec x ∈ [√(97,58045) ; 139,7]
    • un écran de largeur y, avec y ∈ [0 ; √(97,58045)]
    • l'air de la surface avant du Smartphone noté As
    • l'air de la surface de l'écran noté Ae
    NB : √(97,58045) mm correspond à la longueur d'un côté d'un carré de 139,7 mm de diagonale : [√(9758,045)]2 + [√(9758,045)]2 = 139,72

    Ma question est donc la suivante : Pour quelle valeur de x et de y, le rapport Ae/As est-il le plus grand ?


    Merci d'avance de votre aide.

    -----

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  3. #2
    MrSee

    Question Factorisation 2 inconnues

    Bonjour,

    Je souhaiterais savoir comment factoriser ceci :

    [xy] / [(1 + y + 1)(10 + x + 10) - (xy)]

    Merci d'avance.

  4. #3
    gg0

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Bonjour.

    C'est déjà factorisé, mais les parenthèses se simplifient. On peut aussi simplifier un peu le dénominateur en développant, puis factoriser 2.

    Mais sans explication sur le pourquoi de cette expression, difficile de t'aider !

  5. #4
    MrSee

    Re : Factorisation 2 inconnues

    J'ai réussi à factoriser et j'obtiens donc ceci :

    [xy] / [2 (x + 10y + 20)]

    Seulement, comment savoir quelle doit être la valeur de x et la valeur de y pour trouver la valeur maximale de cette équation ?

  6. #5
    gg0

    Re : Factorisation 2 inconnues

    A priori,

    si x et y sont quelconques, il n'y a pas de valeur maximale. D'ailleurs, ce n'est pas une équation (voir ce mot dans un disctionnaire).

    Si tu posais le sujet de l'exercice ou du problème en entier, on pourrait t'aider. mais petits bouts par petits bouts, on en a pour 3 jours avant de savoir quel est l'énoncé.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    MrSee

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Le sujet est ICI
    Dernière modification par MrSee ; 16/04/2015 à 12h15.

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  10. #7
    MrSee

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Dans mon équation :

    xy = Ae
    2 (x + 10y + 20) = As

    J'imagine que j'ai oublié de prendre en compte la diagonale de l'écran étant égale à 139,7 mm pour trouver la valeur de x et de y, mais comment l'inclure ?

  11. #8
    gg0

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Si ton calcul est correct, la quantité [xy] / [2 (x + 10y + 20)] augmente avec x et avec y donc est la plus grande quand x et y sont maximums. Mais je n'ai pas vérifié que c'était la bonne expression
    Vu ton message #7, j'en doute fortement.

  12. #9
    MrSee

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Mon calcul est incorrect, j'en suis certain...

  13. #10
    MrSee

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Personne n'a de piste de recherche ?

  14. #11
    gg0

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Si la seule chose imposée est la longueur de la diagonale, l'aire maximale de l'écran est obtenue pour x=y. Mais tu veux le rapport maximal entre l'aire de l'écran et celle du boitier, donc maximiser
    (rapport taille de l'écran/taille du smartphone) ou
    (rapport taille de l'écran/taille de la partie hors écran du smartphone).
    Dans les deux cas, comme x²+y²=d² (d est la diagonale de l'écran), y s'écrit en fonction de x :

    et on a donc une fonction de x à maximiser.
    Comme c'est ton problème, je te laisse le plaisir de faire ce travail ...

    Cordialement.

  15. #12
    gg0

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Une petite remarque : le maximum est obtenu dans les deux cas pour la même valeur (facile à justifier).

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  17. #13
    MrSee

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Je précise que ce n'est pas un devoir que l'on m'a donné.

  18. #14
    gg0

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Alors je te donne le résultat : le maximum est obtenu pour x valant environ 60.68877.

    mais bien entendu, avec d'autres conditions de dimension, on aurait une autre valeur.

  19. #15
    MrSee

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Ok c'est ce qu'un ami avait trouvé aussi, avec y = environ 125.829

  20. #16
    MrSee

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Bon, j'ai ma réponse, mais j'aimerais quand même savoir comment faire

    Déjà je sais que pour As il ne faut inclure Ae sinon il n'y a pas de rapport. Ce qui donne :
    Ae = xy
    As = (1 + x + 1)(10 + y + 10) = (x + 2)(y + 20) = xy + 20x + 2y + 40

    Ensuite, d'après le théorème de Pythagore :
    x2 + y2 = 139,72
    <=> y2 = 139,72 - x2
    <=> y = √(139,72 - x2)

    Donc dans l'équation Ae / As on remplace y par √(139,72 - x2), nous avons donc :
    Ae / As = [x * √(139,72 - x2)] / [x * √(139,72 - x2) + 20x + 2√(139,72 - x2) + 40]
    = [x * √(139,72 - x2)] / [√(139,72 - x2) * (x + 2) + 20 * (x + 2)]
    = [x * √(139,72 - x2)] / [(√(139,72 - x2) + 20) * (2 + x)]

    Et c'est ici que je coince... Comment connaitre la valeur de x à partir de là ? Il faut le faire passer de l'autre côté du signe égale ? De quelle manière ?

  21. #17
    gg0

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Connaître quelle valeur de x ?

    Si tu ne sais rien sur l'optimisation, il serait bon de commencer par apprendre les notions classiques sur les fonctions et les dérivées qu'on voit en seconde et première.

    Mais ici, en plus, les calculs ne sont vraiment pas simples. Je me suis contenté d'une étude graphique de l'expression à maximiser.

    Quel est ton niveau de connaissances en maths ?

  22. #18
    MrSee

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Je suis en classe de 1ere S, mais après chaque contrôle j'oublie mes cours...

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  24. #19
    MrSee

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Pour calculer la dérivée de [x * √(139,72 - x2)] / [(√(139,72 - x2) + 20) * (2 + x)] on choisi la forme (U / V)' ?

    Donc U = x * √(139,72 - x2)
    Et V = (√(139,72 - x2) + 20) * (2 + x) ?

    Comment calcule-t-on U' et V' ?

  25. #20
    MrSee

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Correction de mon message précédant :

    Pour calculer la dérivée de [x * √(139,72 - x2)] / [(√(139,72 - x2) + 20) * (2 + x)] on choisi la forme (U / V)' ?

    Donc U = x * √(139,72 - x2)
    Et V = (√(139,72 - x2) + 20) * (2 + x) ?

    Comment calcule-t-on U' et V' ?

  26. #21
    gg0

    Re : Factorisation 2 inconnues

    U est un produit; on applique la formule du produit. Idem pour V.
    la seule chose qui te manque sans doute à ton niveau est la dérivée d'une racine carré.

  27. #22
    gg0

    Re : Obtenir l'air d'une surface la plus proche de l'air d'une autre surface

    La formule générale est


    Bon calcul !

  28. #23
    MrSee

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Ça devient tordu...

    Si je ne me trompe pas :

    U' = 1 * √(139,72 - x2) + x * ([279,4 - 2x] / [2 * √(139,72 - x2)])

    V' = ... il y a une addition avec la racine, on fait comment ?
    Dernière modification par MrSee ; 16/04/2015 à 21h44.

  29. #24
    gg0

    Re : Factorisation 2 inconnues

    U' est faux. Pour V', tu sais dériver des sommes ...

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  31. #25
    MrSee

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Plus de précisions ne seraient pas de refus pour le coup...

  32. #26
    MrSee

    Re : Factorisation 2 inconnues

    U' n'est pas simplement égale à √(139,72 - x2) étant donné que x * 3 = 3x = 3 ?

  33. #27
    MrSee

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Ah !

    V' = ([(279,4 - 2x) / 2 * √(139,72 - x2)] + 0) * (2 + x) + (√(139,72 - x2) + 20) * (0 + 1) ?

  34. #28
    gg0

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Tu ne sais toujours pas dériver 139,72 - x² !!! 139,72 est une constante !!!

  35. #29
    MrSee

    Re : Factorisation 2 inconnues

    U' et V' sont faux ?! Tu ne pourrais pas me donner au moins leur valeur ? De cette façon je pourrais essayer de trouver le calcul intermédiaire.

  36. #30
    gg0

    Re : Factorisation 2 inconnues

    Je croyais que tu voulais trouver seul

    Tu y es presque, il te suffit de rectifier la dérivée de 139,72 - x² en lui appliquant sérieusement les règles de dérivation.

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