Obtenir l'air d'une surface la plus proche de l'air d'une autre surface

[inviteafde0b86]

Bonjour,

Avec tous ces fabricants de Smartphones qui se vantent d'avoir le plus gros rapport surface_de_l'écran/surface_avant_du_Smartphone, je me demandais s'il était possible d'avoir un plus grand rapport encore en jouant sur les dimensions de l'écran, tout en gardant la même diagonale d'écran et le même espace entre le(s) haut/bas/bords du Smartphone et l'écran.

Je vous ai fait un schéma pour que vous visualisez mieux mon problème.
rapportASSsurASE.png
Nous avons donc :

• une hauteur de 10 mm entre le haut du Smartphone et l'écran, ainsi qu'entre le bas du Smartphone et l'écran
• une largeur de 1 mm entre le bord gauche du Smartphone et l'écran, ainsi qu'entre le bord droit du Smartphone et l'écran
• une diagonale d'écran de 139,7 mm
• un écran de hauteur x, avec x ∈ [√(97,58045) ; 139,7]
• un écran de largeur y, avec y ∈ [0 ; √(97,58045)]
• l'air de la surface avant du Smartphone noté A_s
• l'air de la surface de l'écran noté A_e

NB : √(97,58045) mm correspond à la longueur d'un côté d'un carré de 139,7 mm de diagonale : [√(9758,045)]² + [√(9758,045)]² = 139,7²

Ma question est donc la suivante : Pour quelle valeur de x et de y, le rapport A_e/A_s est-il le plus grand ?


Merci d'avance de votre aide.
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[inviteafde0b86]

Bonjour,

Je souhaiterais savoir comment factoriser ceci :

[xy] / [(1 + y + 1)(10 + x + 10) - (xy)]

Merci d'avance.

[gg0]

Bonjour.

C'est déjà factorisé, mais les parenthèses se simplifient. On peut aussi simplifier un peu le dénominateur en développant, puis factoriser 2.

Mais sans explication sur le pourquoi de cette expression, difficile de t'aider !

[inviteafde0b86]

J'ai réussi à factoriser et j'obtiens donc ceci :

[xy] / [2 (x + 10y + 20)]

Seulement, comment savoir quelle doit être la valeur de x et la valeur de y pour trouver la valeur maximale de cette équation ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

A priori,

si x et y sont quelconques, il n'y a pas de valeur maximale. D'ailleurs, ce n'est pas une équation (voir ce mot dans un disctionnaire).

Si tu posais le sujet de l'exercice ou du problème en entier, on pourrait t'aider. mais petits bouts par petits bouts, on en a pour 3 jours avant de savoir quel est l'énoncé.

[inviteafde0b86]

Le sujet est ICI

[inviteafde0b86]

Dans mon équation :

xy = Ae
2 (x + 10y + 20) = As

J'imagine que j'ai oublié de prendre en compte la diagonale de l'écran étant égale à 139,7 mm pour trouver la valeur de x et de y, mais comment l'inclure ?

[gg0]

Si ton calcul est correct, la quantité [xy] / [2 (x + 10y + 20)] augmente avec x et avec y donc est la plus grande quand x et y sont maximums. Mais je n'ai pas vérifié que c'était la bonne expression
Vu ton message #7, j'en doute fortement.

[inviteafde0b86]

Mon calcul est incorrect, j'en suis certain...

[inviteafde0b86]

Personne n'a de piste de recherche ?

[gg0]

Si la seule chose imposée est la longueur de la diagonale, l'aire maximale de l'écran est obtenue pour x=y. Mais tu veux le rapport maximal entre l'aire de l'écran et celle du boitier, donc maximiser
(rapport taille de l'écran/taille du smartphone) ou
(rapport taille de l'écran/taille de la partie hors écran du smartphone).
Dans les deux cas, comme x²+y²=d² (d est la diagonale de l'écran), y s'écrit en fonction de x :

et on a donc une fonction de x à maximiser.
Comme c'est ton problème, je te laisse le plaisir de faire ce travail ...

Cordialement.

[gg0]

Une petite remarque : le maximum est obtenu dans les deux cas pour la même valeur (facile à justifier).

[inviteafde0b86]

Je précise que ce n'est pas un devoir que l'on m'a donné.

[gg0]

Alors je te donne le résultat : le maximum est obtenu pour x valant environ 60.68877.

mais bien entendu, avec d'autres conditions de dimension, on aurait une autre valeur.

[inviteafde0b86]

Ok c'est ce qu'un ami avait trouvé aussi, avec y = environ 125.829

[inviteafde0b86]

Bon, j'ai ma réponse, mais j'aimerais quand même savoir comment faire

Déjà je sais que pour A_s il ne faut inclure A_e sinon il n'y a pas de rapport. Ce qui donne :
A_e = xy
A_s = (1 + x + 1)(10 + y + 10) = (x + 2)(y + 20) = xy + 20x + 2y + 40

Ensuite, d'après le théorème de Pythagore :
x² + y² = 139,7²
<=> y² = 139,7² - x²
<=> y = √(139,7² - x²)

Donc dans l'équation A_e / A_s on remplace y par √(139,7² - x²), nous avons donc :
A_e / A_s = [x * √(139,7² - x²)] / [x * √(139,7² - x²) + 20x + 2√(139,7² - x²) + 40]
= [x * √(139,7² - x²)] / [√(139,7² - x²) * (x + 2) + 20 * (x + 2)]
= [x * √(139,7² - x²)] / [(√(139,7² - x²) + 20) * (2 + x)]

Et c'est ici que je coince... Comment connaitre la valeur de x à partir de là ? Il faut le faire passer de l'autre côté du signe égale ? De quelle manière ?

[gg0]

Connaître quelle valeur de x ?

Si tu ne sais rien sur l'optimisation, il serait bon de commencer par apprendre les notions classiques sur les fonctions et les dérivées qu'on voit en seconde et première.

Mais ici, en plus, les calculs ne sont vraiment pas simples. Je me suis contenté d'une étude graphique de l'expression à maximiser.

Quel est ton niveau de connaissances en maths ?

[inviteafde0b86]

Je suis en classe de 1ere S, mais après chaque contrôle j'oublie mes cours...

[inviteafde0b86]

Pour calculer la dérivée de [x * √(139,72 - x²)] / [(√(139,72 - x²) + 20) * (2 + x)] on choisi la forme (U / V)' ?

Donc U = x * √(139,72 - x²)
Et V = (√(139,72 - x²) + 20) * (2 + x) ?

Comment calcule-t-on U' et V' ?

[inviteafde0b86]

Correction de mon message précédant :

Pour calculer la dérivée de [x * √(139,7² - x²)] / [(√(139,7² - x²) + 20) * (2 + x)] on choisi la forme (U / V)' ?

Donc U = x * √(139,7² - x²)
Et V = (√(139,7² - x²) + 20) * (2 + x) ?

Comment calcule-t-on U' et V' ?

[gg0]

U est un produit; on applique la formule du produit. Idem pour V.
la seule chose qui te manque sans doute à ton niveau est la dérivée d'une racine carré.

[gg0]

La formule générale est


Bon calcul !

[inviteafde0b86]

Ça devient tordu...

Si je ne me trompe pas :

U' = 1 * √(139,7² - x²) + x * ([279,4 - 2x] / [2 * √(139,7² - x²)])

V' = ... il y a une addition avec la racine, on fait comment ?

[gg0]

U' est faux. Pour V', tu sais dériver des sommes ...

[inviteafde0b86]

Plus de précisions ne seraient pas de refus pour le coup...

[inviteafde0b86]

U' n'est pas simplement égale à √(139,7² - x²) étant donné que x * 3 = 3x = 3 ?

[inviteafde0b86]

Ah !

V' = ([(279,4 - 2x) / 2 * √(139,7² - x²)] + 0) * (2 + x) + (√(139,7² - x²) + 20) * (0 + 1) ?

[gg0]

Tu ne sais toujours pas dériver 139,7² - x² !!! 139,7² est une constante !!!

[inviteafde0b86]

U' et V' sont faux ?! Tu ne pourrais pas me donner au moins leur valeur ? De cette façon je pourrais essayer de trouver le calcul intermédiaire.

[gg0]

Je croyais que tu voulais trouver seul

Tu y es presque, il te suffit de rectifier la dérivée de 139,7² - x² en lui appliquant sérieusement les règles de dérivation.