Connexité : comment cela se transcrit graphiquement

[Loosgin]

Mesdames, Messieurs,

Selon ce site :
http://www.bibmath.net/dico/index.ph...c/connexe.html
Je cite de cette référence

espace (topologique) A est dit connexe s'il ne s'écrit pas comme réunion disjointe de deux ouverts non vides

.
Autrement dit : soit B et C deux espaces ouverts non vides, alors A est dit connexe si .
Pour l'instant, c'est OK !
A cette définition, il rajoute entre parenthèses

(de façon équivalente, si les seules parties à la fois ouvertes et fermées de A sont l'ensemble vide et A lui-même)

En coloriant en noir l'ensemble fermé de la figure de l'ensemble A qu'il propose, nous trouvons : la partie ouverte en verte et la partie fermée de A en noire.


Comment ce commentaire entre parenthèses se transcrit graphiquement sur cette dernière ? Et pourquoi il parle de parties fermées alors que dans la définition rigoureuse, seules les parties ouvertes sont citées ???

je vous remercie pour l'attention que vous porterez à ma demande d'explication.
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[gg0]

Bonjour.

En attendant de voir ton document ("en attente de validation"), quelques remarques.
* Tout d'abord, je ne sais pas ce que tu appelles B+C (peux tu expliciter, dans le cas B={1,2,3} et C={a, *, T} ?)
* Ensuite, quand on parle d'ouverts en topologie, on parle en même temps de fermé, puisque si, dans une topologie T de l'ensemble E, A est ouvert, alors E-A, le complémentaire de A est un fermé (définition).
* De ce fait, si E est la réunion de deux ouverts disjoints A et B, B et A sont les complémentaires des ouverte A et B et sont donc des fermés.
* enfin une remarque méthodologique : commencer à étudier la notion de connexe sans avoir vraiment étudié la notion de fermé me semble mettre la charrue avant les bœufs.

Quand on pourra voir ton document, on pourra te répondre sur la question qui le concerne.

Cordialement.

[gg0]

Je viens de voir ta figure. Elle n'a pas trop de sens, faute de connaître l'ensemble concerné (dont A serait une partie) et la topologie utilisée. J'ai aussi l'impression que tu confonds "fermé" avec "frontière".

En attente de tes réponses.

[syborgg]

Bonjour.

En attendant de voir ton document ("en attente de validation"), quelques remarques.
* Tout d'abord, je ne sais pas ce que tu appelles B+C (peux tu expliciter, dans le cas B={1,2,3} et C={a, *, T} ?)
* Ensuite, quand on parle d'ouverts en topologie, on parle en même temps de fermé, puisque si, dans une topologie T de l'ensemble E, A est ouvert, alors E-A, le complémentaire de A est un fermé (définition).
* De ce fait, si E est la réunion de deux ouverts disjoints A et B, B et A sont les complémentaires des ouverte A et B et sont donc des fermés.
* enfin une remarque méthodologique : commencer à étudier la notion de connexe sans avoir vraiment étudié la notion de fermé me semble mettre la charrue avant les bœufs.

Quand on pourra voir ton document, on pourra te répondre sur la question qui le concerne.

Cordialement.

Normalement, B+C designe la difference symetrique, ce qui correspond bien ici : B union C different de B+C est une facon tordue de dire que B et C ne sont pas disjoints.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ah, je ne l'ai jamais notée ainsi (bizarre, ce + pour une différence !!).

En tout cas, c'est une mauvaise traduction de "connexe", puisque B et C préexistent à la définition.
Une meilleure définition serait alors, (A, T) étant un espace topologique :
A est connexe si et seulement si quels que soient B et C éléments de T (*),


Cordialement.

(*) T étant une topologie, ses éléments sont des ouverts de (A,T).

[syborgg]

Oui, on note parfois la difference symetrique ainsi car c'est l'addition dans l'algebre de Boole des parties d'un ensemble.
Mais je suis d'accord que la definition est foireuse.

[Loosgin]

Tout d'abord, veuillez m'excuser pour ce délai. Je ne m'attendais pas à de telles questions pointues qui dépassent (de loin) mes connaissances sur ce sujet : en topologie, je m'y connais nibs

gg0

* Tout d'abord, je ne sais pas ce que tu appelles B+C (peux tu expliciter, dans le cas B={1,2,3} et C={a, *, T} ?)

J'ai appelé B et C, 2 parties de A ou 2 sous-ensembles de A (ne me demande pas plus, les corps crépusculaires des mathématiques et moi, ça fait 2 enfin plus ...) !

* Ensuite, quand on parle d'ouverts en topologie, on parle en même temps de fermé, puisque si, dans une topologie T de l'ensemble E, A est ouvert, alors E-A, le complémentaire de A est un fermé (définition).

Je n'avais pas vu cette implication là. Je pensais (et à tord !) que j'avais à faire à une notion intuitive et simple.
Je reformule, si A est un ensemble ouvert de l'univers , alors le complémentaire de A : - A est dit fermé.
Pour aller plus loin, si A est un ensemble en forme de rond et B est un cercle qui entoure ce dernier.
Si on définit un ensemble générique incluant A et B (et rien d'autres) qu'on appelle C. Alors, A est la partie ouverte de C et B est la partie fermée de C, c'est bien ça ? Ou je confonds encore la notion de "fermé" avec la notion de "frontière"?

* enfin une remarque méthodologique : commencer à étudier la notion de connexe sans avoir vraiment étudié la notion de fermé me semble mettre la charrue avant les bœufs.

Effectivement

syborgg

Oui, on note parfois la difference symetrique ainsi car c'est l'addition dans l'algebre de Boole des parties d'un ensemble.

Exactement

[syborgg]

Loogsin, plusieurs remarques :

- si tu veux avoir une chance de comprendre la connexite, il faut que tu en saches un minimum sur les definition de base de la topologie. Ce n'est pas vraiment complique, je te conseille donc de le faire en lisant les premiers paragraphes d'un cours de topologie generale.

- la notion de connexite est faussement intuitive, car cela depend de la topologie a laquelle elle s'applique. Pour la topologie usuelle de R, du plan ou de l'espace, et de leurs sous ensembles (courbes et surfaces par exemple), cela correspond intuitivement au fait d'etre "d'un seul bloc". Par exemple, un disque dans le plan est connexe pour la topologie induite (voir un cours de topologie pour le sens de ce mot), mais l'ensemble constitue de deux disques disjoints ne l'est pas.

- je te pose une question pour t'inviter a la reflexion : R est il connexe ? si oui pourquoi ?

- ta question sur A,B,et C: grosso modo oui c'est cela, mais encore faut il entendre ce que tu entends par "forme ronde" pour etre sur que A est un ouvert...

[gg0]

D'autres remarques :

* Tu dis "exactement" à Syborgg, alors que le niveau mathématique que tu manifestes fait douter que tu saches ce qu'est la différence symétrique de deux ensembles. Peux-tu la définir (dans un paragraphe précédent, tu ne définis toujours pas B+C, tu ne réponds pas à ma question).
* "Si on définit un ensemble générique incluant A et B (et rien d'autres) qu'on appelle C. Alors, A est la partie ouverte de C et B est la partie fermée de C, c'est bien ça ?" Non ! Déjà "la partie ouverte de C" ne veut rien dire, ni "la partie fermée de C". Ensuite, pour la topologie habituelle du plan, si C est un disque (avec son bord), B est le cercle qui est son bord et A est l'intérieur (A=C-B), alors C lui-même est fermé, comme tout un tas d'autres parties de C (par exemple les disques complets qui sont contenus dedans, les cercles contenus dans C, les ensembles ne comprenant qu'un seul point ... Tout ce la expliquant que "le fermé" n'a pas de sens, même si on peut écrire "un fermé".
* La notion d'ouvert est une notion intuitive et simple, à condition d'accepter que c'est une notion mathématique, pas le mot habituel en français courant. D'ailleurs, en français courant, on ne dit jamais "un ouvert" puisque "ouvert" est un adjectif. Ce n'est qu'en maths que c'est un nom. En topologie générale, ce peut être n'importe quelle partie de l'ensemble (de l'espace topologique), suivant la topologie qu'on choisit. Dans la topologie habituelle du plan, une partie A est ouverte si autour de chaque point x, A contient un disque de rayon non nul centré en x.

Cordialement.