Problème d'optimisation

[invite686bb600]

Bonsoir!

Pour un examen, je dois savoir résoudre des problèmes d'optimisation mais le chapitre n'est pas expliqué dans nos syllabus de cours. Je me retrouve donc à essayer de comprendre comment ça fonctionne, apparemment en vain... Voici un énoncé problématique :

Un organisateur organise des week-end Halloween pour des groupes. Le groupe doit comprendre 50 personnes minimum. Les profs d'une Faculté de Médecine imaginaire désirent apprendre de nouveaux trucs pour terroriser les étudiants, et décident de participer. S'ils sont 50, ils devront payer 200 Euros chacun, par personne supplémentaire qui participe, chaque participant devra payer 2 Euros en moins. Les coûts pour l'organisateur sont de 6000 Euros de frais fixes et de 32 euros par personne. Si les groupe est de 50+x personnes, le bénéfice b(x) est une fonction de x. Déterminer la dérivée b′(x).

a) 100 - 4x
b) 68 - 2x
c) 17 - x
d) 2400 + 68 - 2x²
e) 68 - 4x

Voici comment j'ai procédé :

Le bénéfice = le coût pour les participants - le coût pour les organisateurs
Le coût pour les participants = 200 - 2x
Le coût pour les organisateurs = 32x + 6000

Donc, b(x) = (200 - 2x) - (32x + 6000)
b(x) = -5800 + 34x
b'(x) = 34

Où est-ce que je me suis plantée ? Autrement :

Avec une feuille de carton rectangulaire de dimension 14 cm et 30 cm, on veut faire une boîte sans couvercle en enlevant des carrés égaux à chaque coin et en repliant le carton. Nommons x le côté des carrés à enlever. Le volume de la boîte (V(x)) est une fonction de x. Que peut-on dire de la dérivée V′(x) ?

a) C'est un polynôme du premier degré avec 1 racine réelle.
b) C'est un polynôme du second degré avec 1 racine réelle.
c) C'est un polynôme du troisième degré avec 3 racines réelles différentes.
d) C'est un polynôme du troisième degré avec 1 racine réelle.
e) C'est un polynôme du second degré avec 2 racines réelles différentes.

Donc je procède comme suit :

V(x) = (30 - 2x)*(14 - 2x)*x
V(x) = (420 - 88x + 4x²)*x
V(x) = 4x³ - 88x² + 420x
V'(x) = 12x² - 176x + 420

Donc réponse e, si je ne me trompe pas ?

Y a-t-il, plus généralement, une méthode à suivre pour résoudre ce type de problèmes ?
Merci d'avance!
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[Resartus]

Bonjour,
plusieurs erreurs :
a) vous avez calculé le cout pour 1 participant. Il faut le multiplier par 50+x pour avoir les recettes totales
b)du coté couts pour l'organisateur : le nombre de participants n'est pas x mais 50+x

Sinon, votre méthode (définir une, ou si besoin plusieurs, variables caractéristiques, trouver les formules fonctions de ces variables et résoudre) est la bonne. Il faut juste éviter les erreurs d'inattention comme celles de votre premier exercice...

[invite51d17075]

Voici comment j'ai procédé :

Le bénéfice = le coût pour les participants - le coût pour les organisateurs
Le coût pour les participants = 200 - 2x
Le coût pour les organisateurs = 32x + 6000

Donc, b(x) = (200 - 2x) - (32x + 6000)
b(x) = -5800 + 34x
b'(x) = 34

Où est-ce que je me suis plantée ?

Dans les deux calculs.
le revenu des organisateurs est bien le coût des participants.
mais la réduction de 2 euros vaut pour chaque x ( on suppose x>0 ) et surtout elle s'applique à tous. Donc :
R=(200-2x)(50+x)
R=10000+200x-100x-2x²=10000+100x-2x²
le coût pour les organisateurs
C=6000+32(50+x) ( tu as oublié le coût des profs )
C=7600+32x
R-C=2400+68x-2x²
b'(x)=68-4x