Problème d'optimisation

**fa9116621** · 07/08/2016, 11h48

Bonjourà tous,

Je suis en pleine révision pour ma seconde session et là je suis tombé sur un problème d'optimisation que je n'arrive pas à résoudre...

On souhaite construire une antenne, au bord d'une route dont la largeur est négligeable. Les câbles eux ne sont pas nécessairement installés au bord de la route. En admettant que le coût de l'antenne soit de 100000euro et que le cable est à 3 euro le mètre. Quelle sera la position idéale de l'antenne pour que l'investissement soit le moins coûteux. 4 propriétaires décident de se partager les frais quelle sera alors la somme payée par chacun. Je joins le croquis au post.
Pour ma part voilà ce la solution à laquelle j'ai pensée

J'ai identifié les deux triangles 1 et 2.
Je pense nommé la distance X qui est a distance entre l'antenne et le point juste en face de C. La distance restante est alors 12 -x.
Par pythagore je peux évaluer les distance D1 ainsi que D2
Ce qui me donnerait

D1+ D2 = (2² + X²)^1/2 + ( (12-x)²+1²)^1/2

Je comptais ensuite évaluer le point critique de cette fonction...
Est ce que le résonnement tient la route ?

**fa9116621** · 07/08/2016, 13h55

Voici mon dessin

**gg0** · 07/08/2016, 14h00

Bonjour.

Et les points A et B, ils ne sont pas reliés ?

Cordialement.

**fa9116621** · 07/08/2016, 14h17

Je devrais ajouter 5 à mon équation de départ si je comprend bien ? (vu que la distance AB est fixe et est de 5 km)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**fa9116621** · 07/08/2016, 14h47

Je pense que ce j'ai écrit dans le message précédent n'a pas de sens !! je dois revoir mon équation et exprimer la distance A-B en fonction de x si je comprend mieux ??

**gg0** · 07/08/2016, 16h01

Surtout, tu dois intégrer les distances MA et MB dont la somme ne fait 5 que si M est entre A et B.

**fa9116621** · 07/08/2016, 16h39

Je pense que la relation d(a,antenne) + 5 = d(b,antenne) et je dois essayer de l'exprimer en terme de X ?

**gg0** · 07/08/2016, 18h19

Pourquoi cette relation ?

Ne te complique pas la vie, écris la somme des 4 longueurs en fonction de X, et, par exemple de l'abscisse a de A (tu l'as notée 1 sur le schéma du message #2, mais ce n'est pas dans ton énoncé initial), puis commence ...

Cordialement.

**fa9116621** · 07/08/2016, 21h09

Les nombres 1 et 2 était pour spéficier les triangles 1 et 2....ce n'est pas donné dans l’énoncé..

**gg0** · 07/08/2016, 21h18

Donc tu ne sais pas où sont les maisons A et B ? Énoncé incomplet ? Ou volonté de faire traiter tous les cas possibles ?

**fa9116621** · 07/08/2016, 21h24

Je joins l'énoncé en question au cas ou ...

**fa9116621** · 07/08/2016, 21h26

Le prof a mis une note en dessous de l’énonce pour spécifier qu'il y'avait assez de données pour résoudre le problème....je pense que s'il l'a spécifié c' est qu'on pourrait que ce n'est pas le cas....

invite6bfdf32a · 08/08/2016, 11h13

T'es sur que tu as donné toutes les longueurs de l'énoncé?

**fa9116621** · 08/08/2016, 11h37

Désolé mais mon énoncé n'était pas complet...un ami vient de m'envoyer la copie complète...
Donc le coût total de l’installation est de 100.000 dollars et le prix courant du câble est à 3 dollars le mètre.

Je pense qu'à partir de là je connais le nombre de mètre de câble utilisé et je peux donc exprimer toute mes longueurs dans mon équation de départ..

Désolé pour l’énoncé incomplet mais je ne disposait pas de la totalité de la copie mais juste ce que je vous avait envoyé précédemment.

invite6bfdf32a · 08/08/2016, 12h39

Ha bon.

Moi je suis parti de D le point zéro d'un repère orthonormé, et j'ai posé l la distance du point A à l'axe des abscisses.
On obtient donc les points suivants:
A(1;l), B(1;l-5), C(3,12) et D(0,0)

J'ai calculé les barycentre du triangle ABC soit G1, puis le barycentre du triangle ABD soit G2.
Ensuite j'ai calculé le barycentre du segment [G1-G2] soit G.
* G1((xA+xB+xC)/3;(yA+yB+yC)/3), soit G1(5/3;(2l+7)/3)
* G2 même calcul: G2(5/3;(2l-5)/3)

Et donc G(7/3;(4l+2)/3)

invite6bfdf32a · 08/08/2016, 12h43

Si mon raisonnement et mes calculs sont bons, tu n'as plus qu'à calculer D=d(AG)+d(BG)+d(CG)+d(DG) en fonction de l.

**fa9116621** · 08/08/2016, 12h46

Merci pour ta réponse ...Est-ce que tu penses que mon raisonnement de base ne tient pas la route ?
qui est d'exprimé toutes les longueurs par rapport à x en tenant compte de la longueur totale du câble ?

invite6bfdf32a · 08/08/2016, 13h18

Ton antenne est pas forcément sur la route.

Que ça fasse des triangles rectangle en plaçant l'antenne sur la route oui, mais elle peut être ailleurs.

invite23cdddab · 08/08/2016, 13h37

L'antenne est sur la route : c'est une condition de l'énoncé

invite6bfdf32a · 08/08/2016, 13h49

Ha ok ça simplifie tout alors!

invite6bfdf32a · 08/08/2016, 15h07

L'antenne doit être entre A et B?
Sinon tu peux pas dire que d(Aa) + d(Ba) = 5, avec a le point de l'antenne.
Tu peux juste dire que d(Aa)+d(Ba)>=5

invite6bfdf32a · 08/08/2016, 15h53

Oui tes formules de bases pour calculer les distances me paraissent bonne.

Sinon en résultat j'ai trouvé que pour x=4 (ou 12-4 selon le choix de la variable) on était sur un minimum.

Je trouve que la longueur mini de cable est de l=rac(17) + rac(68) + 5

invite6bfdf32a · 08/08/2016, 16h36

invite6bfdf32a · 08/08/2016, 16h42

Facture: 152108€

**fa9116621** · 08/08/2016, 18h41

Si je reprend mon équation de départ à savoir

D1+ D2 = (22 + X2)1/2 + ( (12-x)2+12)1/2

Le soucis est que je n'arrive pas à trouver une autre expression en fonction de x pour définir la longueur de câble que j'utilise pour relier les points A et B à mon antenne ?
Si je trouve cette expression il ne me restera plus qu'a trouver le minimum et c'est ok mais je bloque sur ça depuis un bon moment et je n'arrive vraiment pas a trouver...

**gg0** · 08/08/2016, 18h47

La distance entre deux points d'un axe, d'abscisses x et y est :
$\text{[math]}$

invite6bfdf32a · 08/08/2016, 20h35

Il faut aussi utiliser l'inégalité $\text{[math]}$ , tu peux minorer ta distance, ensuite il faut étudier les deux premiers termes et en faire la dérivée, et ainsi trouver un minima.

Moi j'ai trouvé 4 et les calculs se sont simplifiés ce qui me paraissait un bon signe.

**fa9116621** · 08/08/2016, 23h53

Je ne sais pas si cela paraît évident mais je suis un peu perdu au niveau de la distance de l'expression de la distance de l'antenne par rapport au point A et B.
Selon les différentes possibilités de placement de l'antenne ( soit entre A et B soit au dessus de A soit en dessous de B soit en A ou en B) je n'arrive pas à trouver une expression générale du moins si c'est le raisonnement à suivre ..

invite6bfdf32a · 09/08/2016, 00h31

Envoyé par fa9116621

Je ne sais pas si cela paraît évident mais je suis un peu perdu au niveau de la distance de l'expression de la distance de l'antenne par rapport au point A et B.
Selon les différentes possibilités de placement de l'antenne ( soit entre A et B soit au dessus de A soit en dessous de B soit en A ou en B) je n'arrive pas à trouver une expression générale du moins si c'est le raisonnement à suivre ..

Envoyé par fa9116621

Je ne sais pas si cela paraît évident mais je suis un peu perdu au niveau de la distance de l'expression de la distance de l'antenne par rapport au point A et B.
Selon les différentes possibilités de placement de l'antenne ( soit entre A et B soit au dessus de A soit en dessous de B soit en A ou en B) je n'arrive pas à trouver une expression générale du moins si c'est le raisonnement à suivre ..

Tu dois faire une inéquation puisque tu ne sais pas dire si l'antenne est entre A et B, ou à l'extérieur du segment.

Exprime chaque distance, les deux premières concernant les deux premiers points A, et B:
* $\text{[math]}$ avec a le point de l'antenne.

Exprime les deux autres longueurs avec Pythagore:
* $\text{[math]}$ les racines que tu a trouvées.

Fait la somme:
* $\text{[math]}$ les deux racines

Etudie la fonction D(x), dérivée, et ensuite tire un minimum.

Allez au taff

**fa9116621** · 09/08/2016, 08h48

Merci....je vais voir ce que ça donne...

Problème d'optimisation