Équation cartésienne d'un plan à partir de deux vecteurs
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Équation cartésienne d'un plan à partir de deux vecteurs



  1. #1
    invitedd11025a

    Équation cartésienne d'un plan à partir de deux vecteurs


    ------

    Bonjour,

    J'ai deux vecteurs en trois dimensions : (1,2,4) et (3,3,1) Je cherche l'équation paramétrique du plan de leur sous-espace vectoriel,
    comment qu'on fait ? J'ai deux équations à 4 inconnues a,b,c et d, c'est possible ?

    bien à vous

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Équation cartésienne d'un plan à partir de deux vecteurs

    Bonjour.

    le plan vectoriel engendré par tes deux vecteurs est l'ensemble des combinaisons linéaires de ces deux vecteurs. Une équation parapétrique est donc :
    (x,y,z)=k.(1,2,4)+l.(3,3,1)
    Que tu peux transformer en trois équations réelles à deux paramètres.

    Cordialement.

    NB : Dans tes 4 inconnues, certaines dépendent des autres.

  3. #3
    invitedd11025a

    Re : Équation cartésienne d'un plan à partir de deux vecteurs

    Merci,
    Serait-il possible d'avoir la solution ou un début de solution parce que comme ça ça ne m'aide pas du tout.

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Équation cartésienne d'un plan à partir de deux vecteurs

    Pourtant j'ai écrit toute la solution, avec le raisonnement.

    Si tu ne comprends pas, il te faut apprendre ce qu'est un plan vectoriel ...

    Cordialement.

    NB : je n'ai évidemment pas repris tes calculs, puisque tu ne les as pas écrit. mais tu parles de 4 coefficients, alors que 2 paramètres suffisent.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitedd11025a

    Re : Équation cartésienne d'un plan à partir de deux vecteurs

    Ce que j'ai compris de ta réponse c'est que je me retrouve avec un système comme ça :

    k + 3l = x
    2k + 3l = y
    4k + l = z

    Et ce que je voudrais trouver c'est une équation de la forme ax + by + cz +d = 0.
    Donc ça te semble sans doute évident mais pour moi ça ne l'est pas.

    Auparavant j'avais essayé de résoudre un système de cette forme là :
    x + 2y + 4z = 0
    3x + 3y + z = 0

    d vaut zéro non ? vu qu'on passe par l'origine ?

  7. #6
    invitedd11025a

    Re : Équation cartésienne d'un plan à partir de deux vecteurs

    C'est bon, j'ai trouvé une réponse claire ici. En fait il suffisait de faire le produit vectoriel de ces deux vecteurs.

  8. #7
    Tryss2

    Re : Équation cartésienne d'un plan à partir de deux vecteurs

    Oui, en pratique (et dans le cas vectoriel et non affine) : le produit vectoriel te donne un vecteur v orthogonal à tes deux vecteurs générateurs du plan, donc de tout les vecteurs du plan. Réciproquement, tout les vecteurs orthogonaux à v appartiennent au plan. Donc le plan est donné par l'équation <v, w> = 0. Et dans la base canonique <v,w> = v1.w1+v2.w2+v3.w3

  9. #8
    invitedd11025a

    Re : Équation cartésienne d'un plan à partir de deux vecteurs

    S'il y a d'autres méthodes pour arriver au même résultat ça m'intéresse aussi.

  10. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Équation cartésienne d'un plan à partir de deux vecteurs

    Ah ! C'était l'équation cartésienne !! Dans le message #1, il est écrit "Je cherche l'équation paramétrique ..", j'avais justement vérifié !
    Une autre méthode : partant du système paramétrique, tu élimines k et l entre les trois équations (par combinaison linéaire), il te reste une seule équation liant x, y et z.

    Cordialement.

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