Équation cartésienne d'un plan à partir de deux vecteurs

[Linda338]

Bonjour,

J'ai deux vecteurs en trois dimensions : (1,2,4) et (3,3,1) Je cherche l'équation paramétrique du plan de leur sous-espace vectoriel,
comment qu'on fait ? J'ai deux équations à 4 inconnues a,b,c et d, c'est possible ?

bien à vous
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[gg0]

Bonjour.

le plan vectoriel engendré par tes deux vecteurs est l'ensemble des combinaisons linéaires de ces deux vecteurs. Une équation parapétrique est donc :
(x,y,z)=k.(1,2,4)+l.(3,3,1)
Que tu peux transformer en trois équations réelles à deux paramètres.

Cordialement.

NB : Dans tes 4 inconnues, certaines dépendent des autres.

[Linda338]

Merci,
Serait-il possible d'avoir la solution ou un début de solution parce que comme ça ça ne m'aide pas du tout.

[gg0]

Pourtant j'ai écrit toute la solution, avec le raisonnement.

Si tu ne comprends pas, il te faut apprendre ce qu'est un plan vectoriel ...

Cordialement.

NB : je n'ai évidemment pas repris tes calculs, puisque tu ne les as pas écrit. mais tu parles de 4 coefficients, alors que 2 paramètres suffisent.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Linda338]

Ce que j'ai compris de ta réponse c'est que je me retrouve avec un système comme ça :

k + 3l = x
2k + 3l = y
4k + l = z

Et ce que je voudrais trouver c'est une équation de la forme ax + by + cz +d = 0.
Donc ça te semble sans doute évident mais pour moi ça ne l'est pas.

Auparavant j'avais essayé de résoudre un système de cette forme là :
x + 2y + 4z = 0
3x + 3y + z = 0

d vaut zéro non ? vu qu'on passe par l'origine ?

[Linda338]

C'est bon, j'ai trouvé une réponse claire ici. En fait il suffisait de faire le produit vectoriel de ces deux vecteurs.

[Tryss2]

Oui, en pratique (et dans le cas vectoriel et non affine) : le produit vectoriel te donne un vecteur v orthogonal à tes deux vecteurs générateurs du plan, donc de tout les vecteurs du plan. Réciproquement, tout les vecteurs orthogonaux à v appartiennent au plan. Donc le plan est donné par l'équation <v, w> = 0. Et dans la base canonique <v,w> = v1.w1+v2.w2+v3.w3

[Linda338]

S'il y a d'autres méthodes pour arriver au même résultat ça m'intéresse aussi.

[gg0]

Ah ! C'était l'équation cartésienne !! Dans le message #1, il est écrit "Je cherche l'équation paramétrique ..", j'avais justement vérifié !
Une autre méthode : partant du système paramétrique, tu élimines k et l entre les trois équations (par combinaison linéaire), il te reste une seule équation liant x, y et z.

Cordialement.