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Problème d'optimisation



  1. #1
    UnPeuPerdue

    Problème d'optimisation

    Bonjour! J'ai un devoir à faire que je ne comprends pas. J'ai essayé de comprendre, en vain =(
    La question est celle-ci:

    Soit f(x) = x3 +ax2 +bx + c
    Déterminer les constantes a, b et c si cette fonction a:
    • Un maximum en x= -1
    • Un minimum en x= 5
    • f(1)= 4

    Je sais que je dois d'abord dériver la fonction f(x), mais ensuite... néant dans mon pauvre cerveau.
    Pourriez-vous m'aider?

    -----


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  3. #2
    Seirios

    Re : Problème d'optimisation

    Bonjour,

    Que peux-tu dire de la dérivée en -1 et 5 ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #3
    UnPeuPerdue

    Re : Problème d'optimisation

    La dérivée en -1 et 5 est forcément à 0. Le problème, c'est qu'une fois ma fonction dérivée, je ne sais pas comment utiliser les valeurs connues pour trouver mes constantes. Je bloque un peu à ce niveau là. D'ailleurs, juste pour être sûre, ma dérivée première est bien:
    f`(x) = 3x2 + 2ax + b ?

    Histoire que je ne sois pas dans l'erreur dès le départ.

  5. #4
    UnPeuPerdue

    Re : Problème d'optimisation

    Ooooh! Attends. Il faut que je trouve ma dérivée seconde pour me débarrasser de la constante b, c'est ça?
    Je crois que j'ai compris. Je vais essayer et je reviens

  6. #5
    m236m

    Re : Problème d'optimisation

    Bonjour,

    Non pas du tout, tu n'as aucune info sur la dérivée seconde, pourquoi irais-tu la calculer^^?
    Reste avec f et f'. Tu as deux infos sur f' et une sur f

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    UnPeuPerdue

    Re : Problème d'optimisation

    Arf... je bloque encore. Raaah je déteste l'optimisation
    Même si je me débarrasse de la constante b... je fais quoi ensuite? Je suis découragée

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  10. #7
    m236m

    Re : Problème d'optimisation

    Je suis découragée
    Faut pas! Reprends le problème calmement. Regarde ce que tu sais, quelles sont tes données et ce que tu peux en faire. Tu dois trouver 3 inconnues, donc combien d'équations te faut-il?

  11. #8
    UnPeuPerdue

    Re : Problème d'optimisation

    Voici ce que j'ai établi pour le moment:
    La constante C est la dernière que je peux trouver en utilisant f(1) = 4, une fois que j'aurai trouvé mes deux autres constantes.
    Là, ce que je ne comprends pas, c'est comment trouver a et b.
    Et pour ça, j'ai mes infos concernant le minimum et le maximum de la fonction. J'ai fait ma dérivée sauf que franchement, ça ne m'aide pas beaucoup.

  12. #9
    m236m

    Re : Problème d'optimisation

    J'ai fait ma dérivée sauf que franchement, ça ne m'aide pas beaucoup.
    Il faut faire exactement la même chose qu'avec f! Tu as réussi à traduire f(1)=4, fais la même chose avec f'. Tu l'as dit en répondant au message de Seiros. f'(-1) = 0 et f'(5)=0.
    Le fait que ce soit une dérivée ne change pas la méthode!

  13. #10
    UnPeuPerdue

    Re : Problème d'optimisation

    Oui, mais si je calcule f'(5) et f'(-1), j'ai quand même mes deux constantes dans la formule. Je ne peux pas en isoler une seule, l'autre est encore là. Et même si j'en isole une seule, ça me donne des valeurs différentes avec 5 et -1...
    Ça y est j'ai mal à la tête xD

  14. #11
    UnPeuPerdue

    Re : Problème d'optimisation

    J'ai essayé quelque chose... Est-ce que a = -6 ?
    Pitié dites moi que oui!

  15. #12
    ansset

    Re : Problème d'optimisation

    Citation Envoyé par UnPeuPerdue Voir le message
    Oui, mais si je calcule f'(5) et f'(-1), j'ai quand même mes deux constantes dans la formule. Je ne peux pas en isoler une seule, l'autre est encore là. Et même si j'en isole une seule, ça me donne des valeurs différentes avec 5 et -1...
    Ça y est j'ai mal à la tête xD
    tu as deux formules importantes
    f'(5)=0 est une equation
    f'(-1)=0 est une équation

    je suppose que si on dit :
    deux équations à deux inconnues, ça te dit qcq chose , non ?

    celà te donnera a et b
    la dernière te donnera c !
    Dernière modification par ansset ; 27/11/2013 à 14h54.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  17. #13
    m236m

    Re : Problème d'optimisation

    En général si tu sais dériver, tu sais résoudre un système d'équation à deux inconnues!

    Qu'as-tu essayé de faire?explique ton raisonnement, je ne trouve pas ce résultat.

    EDIT: Pardon j'ai mal recopié, c'est juste
    Dernière modification par m236m ; 27/11/2013 à 14h54.

  18. #14
    ansset

    Re : Problème d'optimisation

    croisement !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  19. #15
    UnPeuPerdue

    Re : Problème d'optimisation

    Donc, réponse finale f(x) = x3 -6x2 -15x + 26

    Et tiens, je vais mettre ma démarche pour aider ceux qui tomberaient par hasard sur mon problème
    (Merci beaucoup de m'avoir aidé! Ça a été long mais j'ai fini par comprendre)

    Soit f(x) = x3 +ax2 +bx + c
    f'(x) = 3x2 + 2ax + b

    f'(5) = 75 + 10a + b
    f'(-1) = 3 - 2a + b

    Considérant f'(5) et f'(-1) = 0.... On peut réécrire l'égalité comme ceci:

    0 = 75 + 10a + b
    et
    0 = 3 -2a + b
    où b = -3 +2a

    Il ne reste qu'à isoler la constante a en remplaçant le b par l'équation -3 +2a

    0 = 75 +10a -3 +2a
    Une fois le a isolé on obtient a = -6

    Ensuite, suffit de remplacer le a dans l'une des deux équations de dérivée pour trouver le b, puis de faire la même chose dans la fonction f(x) pour trouver C (en utilisant f(1) = 4)

    MERCI BEAUCOUP BEAUCOUP!

  20. #16
    ansset

    Re : Problème d'optimisation

    ben voilà,
    content pour toi !
    cordialement.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  21. #17
    m236m

    Re : Problème d'optimisation

    Avec plaisir!

    Citation Envoyé par ansset
    croisement !
    Pas de problème !

  22. #18
    UnPeuPerdue

    Re : Problème d'optimisation

    J'aurais une autre question, en fin de compte. Voici la question posée dans mon devoir:

    La portée P d'un projectile lancé avec une vitesse initiale v à partir du niveau du sol et avec un angle θ par rapport à l'horizontal est donné par P = (v2/9,8) x sin(2θ), où θ est entre 0 et pi/2 (si on néglige la résistance de l'air)

    Utiliser les différentielles pour déterminer la variation de la portée du projectile si la vitesse initiale passe de 20m/s à 20,2m/s, l'angle d'inclinaison restant fixe à 30.
    Je comprends comment arriver à la réponse. Je dois trouver la dérivée de ma fonction, puis remplacer le v par 20m/s et le θ par 30 et multiplier le tout par mon dv (variation de la vitesse, soit 0,2m/s)
    Ça, c'est bon.
    Au final, j'obtiens cette équation:

    [vsin(2θ) + v2cos (2θ)] / 4,9
    Et cela multiplié par mon 0,2m/s

    J'ai accès au solutionnaire pour cette question et leur réponse diffère un peu de la mienne, j'aimerais comprendre pourquoi. La leur:

    [vsin(2θ)/4,9] x dv + v2cos(2θ)/4,9 x dθ

    Pourquoi est-ce qu'on doit multiplier par dθ?

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  24. #19
    ansset

    Re : Problème d'optimisation

    le dtheta a un sens si il y a une variation d'angle, mais ce n'est pas dans l'énoncé.
    donc il y a un décalage entre la question ( qui suppose un non changement d'angle ) et la réponse.
    par contre ta solution ne correspond au résultat même avec un dtheta=0, mais je n'ai pas vérifié.
    a toute à l'heure. je dois partir.
    Dernière modification par ansset ; 27/11/2013 à 16h17.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  25. #20
    UnPeuPerdue

    Re : Problème d'optimisation

    Sauf que justement, le dθ vaut 0 dans le solutionnaire. Ce qui fait que la partie de l'équation contenant le cos vaut 0. Et que la seule partie "valable" de l'équation est:
    [vsin(2θ)/4,9] x dv

    Je ne comprends pas pourquoi... Est-ce parce que lorsqu'on dérive sin(2θ), on considère θ comme une constante?

  26. #21
    gg0

    Re : Problème d'optimisation

    Bonsoir.

    Tu devrais regarder dans ton cours "différentielle d'une fonction de deux variables". C'est une application immédiate qui donne dP=[vsin(2θ) + v2cos (2θ)] / 4,9 .

    Cordialement.

  27. #22
    m236m

    Re : Problème d'optimisation

    Re!

    Oui le d vaut 0 ici puisqu'il n'y a pas de variation d'angle. Tu n'as que la variation en vitesse.

  28. #23
    Smooth56

    Re : Problème d'optimisation

    Salut, je n'ai pas compris quelque chose dans ton premier exercice :

    Comment peut-tu considérer le maximum et le minimum d'une fonction qui n'en a pas ?

    Par exemple la fonction que tu as trouvé n'est pas bornée, elle n'a pas de min ni de max, et encore moins en -1 et 5 ^^

    J'ai du mal comprendre quelque chose.

    Merci d'avance.

  29. #24
    m236m

    Re : Problème d'optimisation

    Ce sont en fait des extremums locaux

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  31. #25
    Smooth56

    Re : Problème d'optimisation

    je m'en doutais ^^
    Merci bien.

  32. #26
    UnPeuPerdue

    Re : Problème d'optimisation

    gg0, la réponse que tu me donnes est celle que j'obtiens! Je ne comprends pas pourquoi le solutionnaire me dit de multiplier par la variation de thêta qui est en fait, dans ce cas-ci, une constante.

  33. #27
    UnPeuPerdue

    Re : Problème d'optimisation

    Petite rectification de ma propre réponse (pour le problème des constantes a, b et c), le c vaut 24, pas 26. Erreur de calcul ^^

  34. #28
    m236m

    Re : Problème d'optimisation

    Bonjour,

    En fait tu ne multiplies pas que par d(theta), il y a aussi le dv qui entre en jeu. Regarde la page wikipédia pour la différentielle d'une fonction à deux variables . La toute première formule devrait répondre à ta question!

  35. #29
    gg0

    Re : Problème d'optimisation

    Citation Envoyé par UnPeuPerdue Voir le message
    gg0, la réponse que tu me donnes est celle que j'obtiens! Je ne comprends pas pourquoi le solutionnaire me dit de multiplier par la variation de thêta qui est en fait, dans ce cas-ci, une constante.
    Le solutionnaire applique une formule générale. Il ne te dit pas de multiplier, il applique une règle.
    Soit tu la connais, et tu peux comprendre, soit tu ne la connais pas et il te faut l'apprendre.

    Dans ce cas précis, on pouvait aussi considérer P comme une fonction seulement de v et dériver comme d'habitude. on obtient le même résultat.
    Mais ne fait-on pas ensuite d'autres applications de l même formule, avec variation de thêta ?

    En tout cas, tu es supposée savoir la formule de la différentielle d'une fonction de deux variables ...

    Cordialement.

  36. #30
    UnPeuPerdue

    Re : Problème d'optimisation

    On commence tout juste les différentielles et mon professeur aime bien nous laisser découvrir certaines choses par nous-même. Elle ne nous a pas montré la formule pour une différentielle à deux variables, seulement celle pour une variable.
    Mais bon j'ai compris et terminé mon devoir hier soir alors merci à vous
    Je reviendrai à coup sûr si j'ai d'autres questions!

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