ETUDE COMPLETE DE f(x)=(1+x)^(1/x)

[MissyaPimprenelle]

Bonsoir,

cela fait plusieurs jours que je bloque sur cette étude de fonction...

domaine définition de f:R*

Puis dans un 1er temps j'ai voulu transformer:

pour tout x appartenant à ]-1;0[u]0,+∞[, car dans ce cas (1+x) doit être >0 (l'erreur viendrait-elle d'ici, mais ds ce cas, je ne sais pas comment procéder pour dériver)


f(x)=(1+x)^1/x
=e^(1/x)ln(1+x)

car dans ce cas (1+x) doit être >0

Afin d'étudier la fonction, je souhaite la dériver et je justifie que par composée de fonctions, f est dérivable sur ]-1;0[u]0,+∞[
et de plus, pour tout x appartenant à ]-1;0[u]0,+∞[, f'(x)=ln(x)ln(1+x)+(1/(x+x²))

Or, pour ce domaine, f'(x) n'est pas définie étant donné que pour que ln(x) soit définie, x>0.

Et là, je ne trouve pas l'origine de mon erreur; pourriez-vous m'indiquer où elle se situe si vous la voyez svp?

Merci pour votre lecture.
-----

[gg0]

Bonjour.

"domaine définition de f:R*" :Tout dépend comment tu définis les puissances, mais je ne sais pas définir f(x) pour x<-1.
Pour le calcul de la dérivée, je ne vois pas d'ou peut sortir ce ln(x). D'ailleurs tu as perdu l'exponentielle en cours de route. Aurais-tu en plus confondu la dérivée de 1/x avec une de ses primitives sur R+ ? Tu as sans doute déruvé 1/x bien avant de voir les logarithmes.

Cordialement

[MissyaPimprenelle]

Bonsoir,
Merci bcp pour votre réponse

Effectivement grosse confusion de ma part pour la dérivée qui n'avait aucun sens !
Enfin,
Df= ]-1;0[u]0,+∞[
Pour tout x appartenant à ]-1;0[u]0,+∞[

f'(x)=(-1/x²)e^(1/x)ln(1+x)

[gg0]

Il faut vraiment que tu apprennes à dériver !! En supérieur, c'est une base inévitable.
f(x)= exp(U) donc f'(x) = U' exp(U)
U est un produit avec comme facteur ln(1+x), donc dans la dérivée il y aura un ln(1+x) qui ne se simplifiera pas puisque sa dérivée n'est pas un logarithme.

Allez ! Au travail sérieux (application stricte des règles de calcul)

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissyaPimprenelle]

*f'(x)=(-x²ln(1+x)-xln(1+x)+x²)/(x²(x²+x))*(e(1/x)ln(1+x))

[MissyaPimprenelle]

Oui je m'en suis aperçue ce matin... je n'ai pas pris de vacances depuis le mois d'août, il serait temps que j'arrête un petit peu car j'en perds vrmt les bases

[MissyaPimprenelle]

(-x^2ln(1+x)-xln(1+x)+x^2)/(x^2(x^2+x))*(e^((1/x)ln(1+x)))

[gg0]

Oui, tu devrais effectivement te reposer. Tu n'as même pas vu qu'un dénominateur x²(1+x) suffit. Et il simplifie l'étude du signe de la dérivée qui devient celui de -xln(1+x)-ln(1+x)+x; déjà suffisamment compliqué !

Arrête de travailler un jour ou deux, tu seras bien plus efficace ensuite !

Cordialement.

[MissyaPimprenelle]

Encore merci !

[Black Jack 2]

Bonjour,

C'est enfin juste ... mais on peut simplifier l'expression trouvée.

Une autre méthode :

f(x) = (1+x)^(1/x)
ln(f(x)) = (1/x) * ln(1+x)
On dérive les 2 membres -->

f'(x)/f(x) = (-ln(1+x)/x² + 1/(x(x+1))
f'(x) = f(x) * (-ln(1+x)/x² + 1/(x(x+1))
f'(x) = (1+x)^(1/x) * (-ln(1+x)/x² + 1/(x(x+1))
...

[MissyaPimprenelle]

Bonjour,
Merci pour votre réponse,

Oui pour finir j'ai trouvé[(-ln(1+x)-xln(1+x)+x)/((x^2)(x+1))]e^((1/x)ln(1+x))
Pour ce qui est de l autre méthode j'ai l'impression de ne l"avoir jamais vue, mais je la comprends

Pour étudier de signe de f'(x)
J'ai pensé à poser g(x)= -ln(1+x)(x+1)+x
Que je dérive et dont le signe serait celui de f'(x)

Donc j'ai (normalement)
pour x appartenant à ]-1;0[u]0,+∞[, g'(x)=-ln(e)-ln(1+x)+1

Mais je n'arrive pas plus à étudier le signe
Encore une mauvaise piste ?

[ansset]

Pour ce qui est de l autre méthode j'ai l'impression de ne l"avoir jamais vue, mais je la comprends

Pour étudier de signe de f'(x)
J'ai pensé à poser g(x)= -ln(1+x)(x+1)+x
Que je dérive et dont le signe serait celui de f'(x)

Donc j'ai (normalement)
pour x appartenant à ]-1;0[u]0,+∞[, g'(x)=-ln(e)-ln(1+x)+1

Mais je n'arrive pas plus à étudier le signe
Encore une mauvaise piste ?

Tu n'expliques pas pourquoi le choix de cette fonction g.
Je suppose que ( suite à la proposition de Black Jack ) tu écris :
f'(x)/f(x) = (-ln(1+x)/x² + 1/(x(x+1))
Or comme x > -1 ; f(x) > 0 ( ce qui est juste , mais que tu ne justifie pas )
Et ensuite, en réduisant au même dénominateur

le dénominateur étant là encore > 0 tu ne gardes que le numérateur qui est ta fonction g(x)

tout celà est juste mais pas du tout explicité.
quand à la dérivée de g, elle est évidente car ln(e)=1
g'(x)=-ln(1+x)

[ansset]

Ps ( je n'avais pas vu ):

Donc j'ai (normalement)
pour x appartenant à ]-1;0[u]0,+∞[, g'(x)=-ln(e)-ln(1+x)+1

comprend pas !
g'(x)=-u(x)v(x)+x avec
u(x)=ln(1+x) ; u'(x)=1/(1+x)
v(x)=1+x ; v'(x)=1
g'(x)=-u'(x)v(x)-u(x)v'(x)+1
g'(x)=-1-ln(1+x)+1=-ln(1+x)
d'où sort le ln(e) ?

[MissyaPimprenelle]

Je l'ai ajouté artificiellement car je n'avais pas dérivé le x donc lorsque je me suis corrigée j'avais transformé 1 en ln(e)espérant pouvoir simplifier sans par la suite voir que ln(e) et -1et se simplifiaient...

Donc
Pour x appartenant à ]-1;+∞[,
g'(x)=-ln(1+x)
=ln(1/(1+x)), peut être plus adapté à l'étude de signe ?

[MissyaPimprenelle]

Enfin, pour le signe je trouve que
Pour tout x appartenant à]-1;0], (1/(x+1))>1>0
Donc pour tout x appartenant à]-1;0], ln(1/(x+1))>ln(1)>=0

Ainsi g'(x) est positive sur]-1;0] et négative sur [0;+∞[

[ansset]

oui, mais ds cette démarche, il ne faut pas se mélanger les pinceaux.
pour mémoire c'est g(x) qui est du signe de f'(x).

j'ajoute que le voisinage de 0 est à traiter avec précaution dans cette approche.

[ansset]

précision :

Et ensuite, en réduisant au même dénominateur

le dénominateur étant là encore > 0 tu ne gardes que le numérateur qui est ta fonction g(x)

donc ne garder que le dénominateur est "piégeux" concernant le voisinage de 0.
car le DL du numérateur à l'ordre 2 donne justement
donc f'(x)/f(x) tend vers -1/2 en 0 et non vers 0 comme le laisserait supposer l'étude de ta fonction g seule.
quand à f(x) , il n'y a pas de soucis autour de 0.

[ansset]

lire : ne garder que le "numérateur".

[Black Jack 2]

Bonjour,

On peut facilement éviter le piège aux alentours de 0.

f'(x) = (1+x)^(1/x) * (-ln(1+x)/x² + 1/(x(x+1))

= (1+x)^(1/x) * (1/x²) * (-ln(1+x) + x/(x+1))

Or (1+x)^(1/x) * (1/x²) > 0 et donc :

f'(x) a le signe de g(x) = -ln(1+x) + x/(x+1) (ce n'est pas le g choisi par d'autres)

g'(x) = -1/(1+x) + 1/(x+1)² = (1-1-x)/(x+1)² = -x/(x+1)²

Et donc g'(x) a le signe contraire de x

Donc le signe de g'(x) sur ]-1 ; 0[ et sur ]0 ; +oo[ est immédiat et comme la lim(x-->0) g(x) est aussi immédiat (pas de piège ici) ...
on peut en déduire le signe de g(x) (et donc de f'(x)) sur les 2 intervalles ...

[ansset]

Donc le signe de g'(x) sur ]-1 ; 0[ et sur ]0 ; +oo[ est immédiat et comme la lim(x-->0) g(x) est aussi immédiat (pas de piège ici) ...
on peut en déduire le signe de g(x) (et donc de f'(x)) sur les 2 intervalles ...

tu as beau changer légèrement g, l'indétermination reste pour f'(0).
car g(0) tend vers 0 mais il y a un facteur (1/x²) en facteur.

et f'(0) ne tend pas vers 0

[ansset]

d'ailleurs, de manière un peu similaire, le prolongement de f(x) en 0 mérite aussi son petit DL simple.

[Black Jack 2]

Bonjour ansset,

Une fois n'est pas coutume, je ne suis pas d'accord avec toi.

Le but n'est pas de trouver la valeur de lim(x-->0) f'(x) mais uniquement d'en déterminer le signe (sur les 2 intervalles) ... et là aucun besoin de DL ou autres méthodes pour lever l'indétermination sur lim(x-->0) f'(x).

J'explicite plus avant mon message précédent (ce que je n'avais pas fait pour laisser chercher MissyaPimprenelle).
**********

f'(x) = (1+x)^(1/x) * (-ln(1+x)/x² + 1/(x(x+1))

= (1+x)^(1/x) * (1/x²) * (-ln(1+x) + x/(x+1))

Or (1+x)^(1/x) * (1/x²) > 0 (sur ]-1 ; 0[ U ]0 ; +oo[) et donc :

f'(x) a le signe de g(x) = -ln(1+x) + x/(x+1) (ce n'est pas le g choisi par d'autres)

g'(x) = -1/(1+x) + 1/(x+1)² = (1-1-x)/(x+1)² = -x/(x+1)²

Et donc g'(x) a le signe contraire de x

Sur ]-1 ; 0[, x < 0 et donc g'(x) > 0 --> g est strictement croissante
lim(x-->0) g(x) = 0 (immédiat)
Des 2 lignes précédentes on déduit que g(x) < 0, donc f'(x) < 0 ---> f décroissante. (aucun besoin de calculer lim(x-->0) f'(x))

Sur ]0 ; +oo[, x > 0 et donc g'(x) < 0 --> g est strictement décroissante
lim(x-->0) g(x) = 0 'immédiat)
Des 2 lignes précédentes on déduit que : g(x) < 0, donc f'(x) < 0 ---> f décroissante. (aucun besoin de calculer lim(x-->0) f'(x))
***********
Quant au prolongement de f(x) en 0, on peut passer par un DL ou bien par Lhospital (bien trop critiqué par certains, peut être parce que trop efficace ?)

f(x) = (1+x)^(1/x)
ln(f(x)) = ln(1+x) /x
lim(x-->0) ln(f(x)) est de forme indéterminée du type 0/0 --> Règle de Lhospital
lim(x-->0) ln(f(x)) = lim(x-->0) 1/(1+x) = 1
et donc lim(x-->0) f(x) = e^1 = e

Je n'ai rien contre les DL mais je reste partisan de la règle du Marquis de Lhospital ... dans les cas où elle est efficace.

Pour ceux qui critiquent en disant que bon nombre d'étudiants utilisent la règle de manière inappropriée, je leur répondrai que celui qui ne sait pas utiliser correctement Lhospital ne sait pas non plus démontrer qu'un DL est bien représentatif dans le cas de l'exercice de la fonction.

[ansset]

Bonjour ansset,

Une fois n'est pas coutume, je ne suis pas d'accord avec toi.

Le but n'est pas de trouver la valeur de lim(x-->0) f'(x) mais uniquement d'en déterminer le signe (sur les 2 intervalles) ... et là aucun besoin de DL ou autres méthodes pour lever l'indétermination sur lim(x-->0) f'(x).

bjr et il convient que je précise le pourquoi de mes interventions.
s'il s'agissait de "faire le tableau de variation" de f sur R\{0} , je n'ai aucun désaccord avec toi.
mais je lis le titre "étude complète de la fonction .....".
ce qui, pour ma part ( à tort où à raison ) implique naturellement de se pencher vers l'éventuel prolongement par continuité de f en 0.(*)
et de même une analyse plus fine de sa dérivée.
s'il y a désaccord, il est simplement là.

ton analyse est totalement suffisante concernant le signe de f' (et donc les variations ), mais si on en reste là, on ne dit rien sur la tendance de lafonction et de sa dérivée autour de 0, et pire, on pourrait conclure qu'elle tend vers 0 ( la dérivée ), donc avec un point d'inflexion.
si ( je précise bien "si" dans l'esprit d'une étude "complète" ), on souhaite préciser les choses sur ces points, je ne vois pas comment éviter un petit DL pour f'(x).

(*)pour le prolongement de f en 0 je suis d'accord avec toi , j'ai dit "DL" par défaut mais l'Hospital ou même simplement l'équivalent de ln(1+x) en 0 suffit.

[Black Jack 2]

Rebonjour,

Juste pour en terminer ...

"je ne vois pas comment éviter un petit DL pour f'(x)."

Par Lhospital par exemple

f'(x) = (1+x)^(1/x) * (-ln(1+x)/x² + 1/(x(x+1))

lim(x-->0) ((1+x)^(1/x)) = e, en effet :
lim(x-->0) ln((1+x)^(1/x)) = lim(x-->0) [ln(1+x)/x], indét 0/0 et donc Lhospital : = lim(x-->0) (1/(1+x)) = 1
Et donc lim(x-->0) ((1+x)^(1/x)) = e^1 = e

(-ln(1+x)/x² + 1/(x(x+1)) = (x - (x+1).ln(1+x))/x²

lim(x-->0) [(x - (x+1).ln(1+x))/x²] est une indétermination du type 0/0 --> Lhospital

= lim(x-->0) [-ln(1+x)/(2x)] est une indétermination du type 0/0 --> Lhospital

= lim(x-->0) [-1/(2.(1+x))] = -1/2

Et donc lim(x-->0) f'(x) = -e/2

Tout ceci peut être réduit à 3 lignes en réalisant plusieurs opérations simultanément, pas fait ici pour rester plus lisible.

Cela va bien aussi avec un DL.

[ansset]

OK sur tout ! ( pour moi le DL ou le "double" Lhospital pour la dérivée, c'est kif-kif )
Cordialement.