Notation cardinaux

[jall2]

Bonjour,

Un nombre cardinal est défini comme un nombre ordinal (de von Neumann) qui n'est équipotent à aucun ordinal qui lui soit strictement inférieur. Le cardinal d'un ensemble est le plus petit ordinal auquel cet ensemble est équipotent.

Donc 1, 2, 3 .... sont les cardinaux finis, le premier cardinal infini (correspond à )

On note les cardinaux infinis , les indices sont les ordinaux, je ne comprends pas bien cette notation
Puisque pourquoi ne pas l'avoir noté ou bien tout simplement ?

Et que représente ?
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[syborgg]

Bonjour,

Un nombre cardinal est défini comme un nombre ordinal (de von Neumann) qui n'est équipotent à aucun ordinal qui lui soit strictement inférieur. Le cardinal d'un ensemble est le plus petit ordinal auquel cet ensemble est équipotent.

Donc 1, 2, 3 .... sont les cardinaux finis, le premier cardinal infini (correspond à )

On note les cardinaux infinis , les indices sont les ordinaux, je ne comprends pas bien cette notation
Puisque pourquoi ne pas l'avoir noté ou bien tout simplement ?
n or
Et que représente ?

Dans un modele de ZFC, la classe des cardinaux est "bien ordonnee" (je mets des guillemets car c'est une classe qui n'est pas un ensemble), par la restriction du "bon ordre" des ordinaux. Il y a donc un premier cardinal, puis un second, etc.... c'est pour cela que les cardinaux sont indexes par les ordinaux. Aleph_0 est le premier cardinal infini, c'est pour cela qu'on le note ainsi. Il est aussi l'ordinal omega, mais selon le contexte on le nomme Aleph_0 (si on est en train de parler des cardinaux) ou omega (si on est en train de parler d'ordinaux).
Aleph_omega est le premier cardinal qui vient juste apres tous les Aleph_n, de la meme facon que omega est le premier ordinal qui vient juste apres tous les ordinaux finis.

Si cela n;est toujours pas clair pour toi, je te conseille de lire les premiers chapitres de "theorie axiomatique des ensembles" de Krivine, ou de "set theory" de Kunen.
Si tu ne sais pas ou trouver ces livres envoie moi un MP je t'aiderai a les trouver.

[gg0]

Bonjour Jall2.

Les cardinaux n'ont pas toujours été définis comme des ordinaux (et ne le sont peut-être toujours pas dans certaines théories). Donc les noter avec des noms d'ordinaux modifierait les habitudes. Un autre avantage est qu'ainsi, on ne risque pas de confondre les calculs avec les ordinaux et les calculs avec des cardinaux.

Cordialement.