Topologie

[Alexismarcel]

Bonjour tout le monde, merci de m'aider un peu par avance, je pense que c'est un exo classique
On nous donne E l'espace vectoriel {x_n € C^N tel x_n soit bornée} muni le norme infininie=sup|x_n| , et F le sous-espace vectoriel des suites qui tendent vers 0, on nous demande de montrer que F est complet,
Pour montrer que F est fermé dans E, j'ai vu dans le corrigé qu'on utilise les suites, mais, j'ai pas mal de confusions à voir la différences entre les sous-suites classiques pour montrer montrer la fermeture d'un ensemble, et leur utilisation ici, merci de m'éclaircir un peu.
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[syborgg]

Tu prends une suite d'elements de F qui est de Cauchy.
Tu montres qu'elle converge dans E (donc pour la norme du sup).
Puis tu finis par montrer que sa limite est dans F.

A quelle etape de ce processus bloques tu ?

[raymolk]

Ou bien : E est complet en tant qu'espace des applications de IN dans C pour la norme du sup.
À partir de là, F est complet si et seulement si il est fermé.
Prenant donc une suite d'éléments ((u_n^k)_n)_k de F qui converge vers (u_n)_n dans E, on montre que la limite est dans F, c'est-à-dire que u_n tend vers 0 dans C (inégalité triangulaire + jouer sur les limites en k et n).

[Alexismarcel]

Un k est une suite de F qui varie pour l'indice k ? C'est une suite de suites en fait ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[raymolk]

Oui : tu dois montrer qu'une suite d'éléments de F qui converge dans E a sa limite dans F.
Or les éléments de E (et donc de F) sont des suites, donc c'est une suite de suites.

[Alexismarcel]

Merci raymolk pour l'aide précieuse, merci aussi syborgg.

[syborgg]

Ah tiens au passage, on a parfois tendance a oublier que cette caracterisation d'une partie fermee par les suites convergentes n'est valable que pour les espaces dans lesquels chaque point possede une base de voisinage denombrable. Les espaces metriques en font partie, donc on peut bien appliquer ce critere ici.

[raymolk]

C'est vrai qu'en topologie générale, la convergence le long des suites n'est pas équivalente à la convergence.
Par contre, il semble (je ne m'en souvenais plus, si jamais je l'ai su un jour) que cette équivalence puisse avoir lieu au-delà des espace à bases dénombrables de voisinages : wikipédia donne comme exemple le bouquet de cercles ℝ/ℤ (dans l'article sur les espaces séquentiels).

[syborgg]

C'est vrai qu'en topologie générale, la convergence le long des suites n'est pas équivalente à la convergence.
Par contre, il semble (je ne m'en souvenais plus, si jamais je l'ai su un jour) que cette équivalence puisse avoir lieu au-delà des espace à bases dénombrables de voisinages : wikipédia donne comme exemple le bouquet de cercles ℝ/ℤ (dans l'article sur les espaces séquentiels).

Je ne connaissais pas cette caracterisation des espaces sequentiels, c'est un beau resultat !