Les cardinaux infinis

[invitee1c6d6b1]

Bonjour.
Les cardinaux aleph(n) pour n allant de zéro à l'infini, ne sont pas des nombres.
Cependant, ils se succèdent et sont discrets et ordonnés totalement.
Rien qu'avec ses qualité, l'ensemble des aleph(n) ressemble à lN, des entiers naturels.
Comme si les aleph(n) serait la structure macroscopique des entiers naturels et réciproquement.

Merci de vos avis.
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[Médiat]

Bonjour

Les cardinaux aleph(n) pour n allant de zéro à l'infini,

Désolé, mais dans ce contexte, l'infini ne veut rien dire, les sont indexés par les ordinaux.

ne sont pas des nombres.

Effectivement le mot "nombre" est plutôt utilisé pour les sous-ensembles de et certains de ses sur-ensembles (Quaternions, Octonions, Sédénions, etc.)

Cependant, ils se succèdent et sont discrets et ordonnés totalement.

Oui, sauf que certains cardinaux ne sont pas successeurs, mais sont des cardinaux limites ce qui n'existe pas dans IN.

Rien qu'avec ses qualité, l'ensemble des aleph(n) ressemble à lN, des entiers naturels.

Je ne sais pas vraiment ce que veux dire "ressemble" ici, mais on peut dire que la collection des cardinaux (ce n'est pas un ensemble) est un bon ordre comme IN (mais c'est un peu léger comme ressemblance). Tout au plus peut-on dire que IN est un segment initial de tous les cardinaux infinis

Comme si les aleph(n) serait la structure macroscopique des entiers naturels et réciproquement.

Là je ne comprends pas l'idée qui se cache derrière cette phrase (en fait j'en ai une vague idée : regarde la forme canonique de Cantor, et en particulier l'ordinal )

[invitee1c6d6b1]

Merci pour ces précisions, Médiat.
Y aurait-il un lien (pas trop compliqué) qui aborde ce "sujet"?
Merci.

[Médiat]

Y aurait-il un lien (pas trop compliqué) qui aborde ce "sujet"?

Dehornoy est toujours une bonne adresse : http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy...ornoyChap5.pdf

A éviter absolument : l'article aleph de wikipedia, dont la première ligne (au moins) est une horreur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee1c6d6b1]

Désolé,
je n'ai pas pu suivre suffisamment. Je ne suis pas arrivé aux formes canoniques de Cantor avec le E(0).
Ce que je croyais , c'est que l'ensemble des les aleph(n) était discret, ordonné totalement et infini ce qui fait que cela aurait été le même objet mathématique que lN.
Structure macroscopique et microscopique:
comme les physiciens cherchent à savoir comment sont structurées les particules atomiques, qui sont des "unité" comme les entiers naturels; ici ça aurait été la structure macroscopique, les aleph, qui aurait donner la "structure microscopique" des entiers naturels: comment serait construits "intérieurement" les entiers naturels, ces unités mathématiques "indécomposables".
Exemple:
aleph(n+1)=2^aleph(n); qu'est ce que c'est que ce 2 que ce ^ ? Pour passer de n à n+1 (entiers naturels), au niveau microscopique il faudrait en passer par un exponentiel de 2 infini....?

Et puis je pensais que si en partant de lN, via les aleph, on reconstruit un lN de niveau "supérieur"; je m'imaginais des couches infinis d'ensemble de lN "superposés" sans début ni fin. Des superpositions de"lN(n) avec n allant de moins l'infini à plus l'infini.

Si on prend un lN(n), ces éléments sont des entiers naturels "simples". Mais si on étudie lN(n) et lN(m), si les n sont des entiers, les m n'en sont pas comparés aux n alors qu'ils en seraient comparés à rien.

Aleph(0) aurait un rapport avec le zéro ou le un de lN.

Tout ce que je viens de dire est forcément faux, mais y a t-il quelque chose d'approchant en math ?

[Médiat]

Exemple:
aleph(n+1)=2^aleph(n);

Ceci n'est vrai qu'avec l'hypothèse généralisée du continu.

qu'est ce que c'est que ce 2 que ce ^ ?

La notation habituelle pour désigner les applications de dans 2, ce qui est donc aussi l'ensemble des partie de .

Et puis je pensais que si en partant de lN, via les aleph, on reconstruit un lN de niveau "supérieur"; je m'imaginais des couches infinis d'ensemble de lN "superposés" sans début ni fin. Des superpositions de"lN(n) avec n allant de moins l'infini à plus l'infini.

Si on prend un lN(n), ces éléments sont des entiers naturels "simples". Mais si on étudie lN(n) et lN(m), si les n sont des entiers, les m n'en sont pas comparés aux n alors qu'ils en seraient comparés à rien.

Je ne comprends pas ce que cela veut dire.

Aleph(0) aurait un rapport avec le zéro ou le un de lN.

est le plut petit cardinal infini, et clairement il existe une bijection entre IN et l'ensemble des pour n un entier (mais ce n'est pas la totalité des aleph).

[invitee1c6d6b1]

C'est quoi la forme canonique de Cantor ainsi que E(0) ?

[Médiat]

C'est quoi la forme canonique de Cantor ainsi que E(0) ?

est le plus petit ordinal vérifiant
La forme normale (canonique est moins souvent utilisée) de Cantor est une écriture "de position en base " des ordinaux.

Tout ordinal peut s'écire de façon unique :

.

Où les sont des entiers non nuls
Les sont des ordinaux vérifiant .

Pour les ordinaux strictement inférieurs à la condition précédente peut s'écrire , c'est à dire que la forme normale de Cantor d'un ordinal est "plus simple" que .