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Equivalents



  1. #1
    p4d4w4n

    Lightbulb Equivalents


    ------

    Bonjour,

    Je n'arrive pas à démontrer ces equivalents en l'infini:

    ch(Ln n) ~ n/2
    Ln(ch n) ~ n

    somme des Ln k ~ n Ln n
    somme des 1/k ~ Ln n

    Pourriez vous m'aider ?

    -----

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  3. #2
    supernico999

    Re : Equivalents

    Salut,
    Pour le premier il suffit d'écrire que ch(ln n)=[n+(1/n)]/2
    (d'après la définition de ch).
    Pour le 2eme, tu as ln(ch n) = ln((e^n+e^-n)/2) = n+ln(1+e^-2n)-ln2

    Pour la somme des 1/k et des lnk, il suffit de comparer avec une intégrale.

  4. #3
    Gwyddon

    Re : Equivalents

    Pour les deux premiers, revient à la définition du cosinus hyperbolique. Pour le deuxième, exploite les propriétés de ln, et rappelle-toi d'un équivalent classique.

    Pour le troisième, pareil, propriété de ln plus un équivalent fondamental

    Pour le dernier, je te laisse encore chercher un peu... Après avoir regardé les autres, tu auras peut-être quelques idées.

    N'hésite pas à nous faire part de l'avancement de tes réflexions
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  5. #4
    Gwyddon

    Re : Equivalents

    Citation Envoyé par supernico999
    Pour la somme des 1/k et des lnk, il suffit de comparer avec une intégrale.
    On peut même éviter l'intégrale, avec un simple raisonnement sur la relation suite/série
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    p4d4w4n

    Smile Re : Equivalents

    Merci pour vos réponses,
    je vois bien pour les 3 premières mais je bloque encore pour la somme des 1/k.

  8. #6
    Gwyddon

    Re : Equivalents

    Comment exprimes-tu une suite à partir d'une série (et vice-versa) ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  10. #7
    p4d4w4n

    Smile Re : Equivalents

    Citation Envoyé par Gwyddon
    On peut même éviter l'intégrale, avec un simple raisonnement sur la relation suite/série
    Merci, j'ai trouver les deux dernières en comparant avec des intégrales. Mais quelle est ta méthode Gwyddon?

  11. #8
    Gwyddon

    Re : Equivalents

    Soit .

    En étudiant un+1-un, son équivalent, plus un théorème sur les équivalents pour les séries, et en exprimant un en fonction de cette différence je parviens à la conclusion
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  12. #9
    Gwyddon

    Re : Equivalents

    Ah oui et j'avais oublié, pour la somme des ln(k) , se rappeler de la formule de Stirling est de bon aloi.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  13. #10
    akabus47

    Re : Equivalents

    Bonjour
    N'y a t il pas aussi une relation du genre

    somme 1/k ~ Ln n - gamma + o(1)

    Avec gamma la constante d'Euler ?

  14. #11
    Gwyddon

    Re : Equivalents

    Tout à fait.

    La méthode que je propose permet d'arriver à ce résultat : on prouve que admet une limite finie, et l'on appelle cette limite la constante d'Euler(-Mascheroni)
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  15. #12
    Eti-N

    Re : Equivalents

    Citation Envoyé par p4d4w4n
    somme des 1/k ~ Ln n
    Une preuve que j'ai trouvé très jolie.

    Soit
    Donc, D'où, Puis,

    Soit
    Donc, D'où, Puis,

    D'où, Finalement, .

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  17. #13
    akabus47

    Re : Equivalents

    Bonjour Eti-N

    En effet c'est une belle demonstration mais neanmoins classique , l'apparition de la constante d'Euler peut quelque =fois servir dans certains exercices

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