Equivalents

[invite43e5b142]

Bonjour,

Je n'arrive pas à démontrer ces equivalents en l'infini:

ch(Ln n) ~ n/2
Ln(ch n) ~ n

somme des Ln k ~ n Ln n
somme des 1/k ~ Ln n

Pourriez vous m'aider ?
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[invitef45cc474]

Salut,
Pour le premier il suffit d'écrire que ch(ln n)=[n+(1/n)]/2
(d'après la définition de ch).
Pour le 2eme, tu as ln(ch n) = ln((e^n+e^-n)/2) = n+ln(1+e^-2n)-ln2

Pour la somme des 1/k et des lnk, il suffit de comparer avec une intégrale.

[invite9c9b9968]

Pour les deux premiers, revient à la définition du cosinus hyperbolique. Pour le deuxième, exploite les propriétés de ln, et rappelle-toi d'un équivalent classique.

Pour le troisième, pareil, propriété de ln plus un équivalent fondamental

Pour le dernier, je te laisse encore chercher un peu... Après avoir regardé les autres, tu auras peut-être quelques idées.

N'hésite pas à nous faire part de l'avancement de tes réflexions

[invite9c9b9968]

Pour la somme des 1/k et des lnk, il suffit de comparer avec une intégrale.

On peut même éviter l'intégrale, avec un simple raisonnement sur la relation suite/série

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite43e5b142]

Merci pour vos réponses,
je vois bien pour les 3 premières mais je bloque encore pour la somme des 1/k.

[invite9c9b9968]

Comment exprimes-tu une suite à partir d'une série (et vice-versa) ?

[invite43e5b142]

On peut même éviter l'intégrale, avec un simple raisonnement sur la relation suite/série

Merci, j'ai trouver les deux dernières en comparant avec des intégrales. Mais quelle est ta méthode Gwyddon?

[invite9c9b9968]

Soit .

En étudiant u_n+1-u_n, son équivalent, plus un théorème sur les équivalents pour les séries, et en exprimant u_n en fonction de cette différence je parviens à la conclusion

[invite9c9b9968]

Ah oui et j'avais oublié, pour la somme des ln(k) , se rappeler de la formule de Stirling est de bon aloi.

[invite71b1f7de]

Bonjour
N'y a t il pas aussi une relation du genre

somme 1/k ~ Ln n - gamma + o(1)

Avec gamma la constante d'Euler ?

[invite9c9b9968]

Tout à fait.

La méthode que je propose permet d'arriver à ce résultat : on prouve que admet une limite finie, et l'on appelle cette limite la constante d'Euler(-Mascheroni)

[invitee05be71a]

somme des 1/k ~ Ln n

Une preuve que j'ai trouvé très jolie.

Soit
Donc, D'où, Puis,

Soit
Donc, D'où, Puis,

D'où, Finalement, .

[invite71b1f7de]

Bonjour Eti-N

En effet c'est une belle demonstration mais neanmoins classique , l'apparition de la constante d'Euler peut quelque =fois servir dans certains exercices