transport parallele sur un groupe de Lie

[ornithology]

Bonjour,

mes souvenirs en géométries datent un peu. voici le probleme que je me pose. je prends l'ensemble des fonctions sur R bijectives et différentiables. par exemple x -> x^3 , x-> x etc. cet ensemble si je ne me trompe pas c'est un groupe de Lie pour la composition des fonctions. je peux y tracer un chemin allant de l'identité a x^3 par exemple avec 1-t + t x^3
Ai je assez de renseignements pour savoir si ce chemin permet un transport parallele de l'identité vers x^3?
comment savoir si c'est une géodésique?
Merci
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[ornithology]

j'ai fait une faute de frappe je voulais écrire (1-t) x + t x^3.
il y a un temps donné pour les rectifications?

[ornithology]

je viens de lire que pour tout élément g d'un groupe de lie G il y a une application canonique de G sur lui meme (qui est la multiplication par le symétrique de g) qui envoie g sur e . tout chemin passant par g est ainsi envoyé sur un chemin passant par e. d'ou un transport de vecteur tangent et un parallelisme canonique. un chemin reliant g a e est une géodésique si ses vecteurs tangents sont parralleles au sens indiqué ci dessus;
qu'en pensez vous? le chemin que j'avais donné est il une géodésique?

[0577]

Bonjour,

l'ensemble des fonctions sur R bijectives et différentiables muni de la composition des fonctions n'est pas un groupe: l'inverse (au sens de la composition) d'une telle fonction n'est pas nécessairement différentiable. Par exemple, l'inverse pour la composition de x->x^3 est x->x^(1/3), qui n'est pas différentiable en 0.

Une manière d'obtenir un groupe est de considérer le groupe des difféomorphismes de R, c'est-à-dire l'ensemble des fonctions sur R bijectives, différentiables et d'inverse (pour la composition) différentiable, muni de la composition des fonctions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ornithology]

Bien vu 0577.
j'ai lu qu'il s'agit de Diff(R)
sauf nouvelle erreur f(x) = 2 x^3 en fait partie.
Quel élément de diff(R) génère un chemin passant par f?

[ornithology]

0577 m'a gentiment fait remarquer dans un message privé qu'il faut vérifier que dans le groupe les fonctions sont bien différentiables ainsi que leurs inverses par composition. ainse dans l'exemple de x^3 son inverse n'est pas dérivable en x = 0. Ainsi quand je proposais un chemin allat de f(x) a l'identité donné par (1-t)Id + t f, il restait a voir si les points inrermédiaires étaient bien dans le groupe de Lie Diff(R)
la fonction f(x) = 2 x en fait partie son inverse est x/2. les points inrermédiaire entre 0 et 1 indexés par t sont 2xt + x - tx = (t + 1)x mais pour t = -1 on n'a plus une bijection sur R. On n'a pas ce probleme avec le chemin 2 Id( x -t) translation et multiplication par 2 qui peut etre décrit grace a une exponentielle.
si on prend un autre élément plus compliqué par exemple la fonction sinus hyperbolique son inverse par composition est il dérivable et quel est il? quel est son générateur associé?

### c'est fait ! ####

[ornithology]

j'ai trouvé ici la fonction réciproque de sinh
c'est log(x + \sqrt(x^2 + 1))

[ornithology]

Quand on prend le groupe de Lie des matrices rotations du plan comme
cos(a) -sin(a)
sin(a) cos(a)
elles sont indexées par des angles a b etc et si on multiplie ces matrices le résultat est une matrice de rotation pour la somme de ces angles.
on peut remarquer au passage qu'a l'angle nul est associé la matrice identité.

avec le groupe de Lie Diff(R) les éléments du groupe ne sont pas des matrices mais des fonctions monotones dérivables sur R.
et la loi interne est ici la composition des fonctions. le "produit" de f(x) et de g(x) n'est pas le produit habituel f(x)g(x) mais f(g(x))
de la meme facon il faudrait pour les "puissances" de sinh(x) que sont l'identité, sinh(x), sinh(sinh(x)) sinh(sinh(x)), sinh(sinh(sinh(x))) etc
il faudrait trouver un générateur G tel que
exp(0 G) = identité
exp(1 G) = sinh(x)
exp(2 G) = sinh(sinh(x))
etc

[ornithology]

Philippe Durand dans son cours du Cnam a donné une définition des sous groupes de Lie G a un parametre
c’est une application f de R dans G telle que f(s)*f(t) = f(s+t) pour tous s et t rééls. Ici * est la loi interne pour le groupe G.
On a f(0)*f(t) = f(t) donc f(0) est l’ identité.
f(-t)*f(0) = Id. donc f(-t) est l’ inverse de f(t).
Dans Diff(R) les elements sont des applications differentiables bijectives sur R. * est la loi de composition .L’ inverse pour cette loi est la fonction reciproque.
Je choisis un element dans Diff(R) ici la function sinh,
Le but est de construire le sous groupe a un parametre qui envoie 0 sur Id et 1 sur sinh.
On utilise la definition pour construire f(s) d’abord sur Z puis sur Q and enfin sur R.
Comme = sinh(sinh) = f(2) on a la valeur de f sur 2 puis surles valeurs entieres de t. j’introduis la notation pour sinh(sinh(...))) n fois
et de la meme facons pour les valeurs entieres négatives avec arsinh.
Pour t dans Q, prenons par exemple g tel que on écrit
et
les nombres réels etant des limites de fractions ceci donne un sens a la notation pour tout r réél.
le sous groupe cherché est ainsi construit (pas uniquement par un théoreme d'existance).
si la on note z le vecteur dérivé de ce sous groupe au point Id on utilise habitullement la notation exponentielle exp(rz)
pour les points de ce sous groupe a un parametre r.