A la suite d’une étude sérieuse le directeur financier de l’entreprise LAMBDA ait conclu que le nombre de factures non réglée dans les 10 jours ouvrables qui suivent la date limite de règlement (date de réception pour les paiements au comptant et terme échu pour les effets de commerce), représente 10% des factures émises, compte tenu des habitudes de la clientèle et des procédures de rappel en vigueur dans l’entreprise lambda. Deux ans après, le directeur financier veut vérifier si les procédures de recouvrement sont toujours aussi bien suivies, malgré l’accroissement constaté des ventes.
Pour les besoins de cette étude, on prélève un échantillon aléatoire de n=900 factures dans une population de factures dont l’établissement remonte à plus de 3 mois et moins de 6 mois. La taille N de cette population-mère sera considérée comme infinie.
Partie I : On veut connaître une « gamme de résultats plausibles » dans laquelle la valeur observée de la fréquence f de l’échantillon devrait normalement se trouver (ce qui n’exclut pas que l’on puisse observer des valeurs en dehors de cette fourchette).
1) Donner un intervalle dans lequel la fréquence f sur l’échantillon a 95% de chances de se situer ?
Partie II : Deux ans plus tard, le directeur financier veut vérifier si ce taux de retard est inchangé ou si comme l’affirme l’un de ses collaborateurs, après une étude « de coin de table » ce taux s’est accru de moitié (=15 %), compte tenu de l’accroissement du nombre de factures traitées par un service aux effectifs inchangés. Pour décider laquelle de ces hypothèses doit être retenue le principe de l’étude de l’échantillon est retenu.
H0 : la population mère est caractérisée par une proportion p0=0,10 de factures réglées avec retard.
H1 : la population mère est caractérisée par une proportion p1>P0 avec p1 de l’ordre de 0,15, de factures réglées en retard.
1er cas : la taille de l’échantillon retenue est celle de la partie I, i.e n=900 et le directeur financier décide de s’accorder un risque α de de 2,5%.
2) De quel type de test s’agit-il ?
3) Donner la valeur critique que l’on notera au delà de laquelle l’hypothèse H0 sera rejetée.
4) Calculer le risque
2ième cas : L’incidence économique des erreurs de 1ère et de 2ème espèce est généralement assez différente. Aussi, le décideur aura tendance à fixer lui même les risques, quitte à réexaminer ensuite ses choix si le coût d’obtention de l’information lié à la taille n de l’échantillon s’avère sans aucune mesure avec les dépenses qu’il espère éviter.
On suppose donc qu’il ait retenu 2,5% comme risque de 1ère espèce et 0,54% comme risque de 2ième espèce. Le risque de 2ième espèce (=rejet à tort d’un accroissement de 50% du taux de retard) a des répercussions financières plus importantes que celles correspondant au risque de première espèce.
5) proposez donc un système d’équations (2 équations et 2 inconnues) qui permet de retrouver la valeur critique et la taille n de l’échantillon nécessaire.
6) Tirez une conclusion si on observe une fréquence de 0,13 de factures réglées en retard dans l’échantillon étudié.
Pour le 1 j'ai trouvé l'intervalle [0.0804; 0.1196]
Pour le 2 j'ai trouvé que c'est un test d'hypothèses
Pour le 3 c’est le Zobs qu’il faut calculer je crois
Et pour le 5 je bloque je comprends quelle valeur prendre pour faire le système
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