"Trianglature" du cercle

[Hades55]

Bonjour à toutes et tous,

Question d'un non mathématicien qui paraîtra naïve aux mathématiciens et les fera sourire 😏

La quadrature du cercle est impossible. Problème classique de l'Antiquité qui n'a pu être résolu que 25 siècles plus tard, en 1882 par Lindemann.

Il tombe sous le sens, même pour un non mathématicien, que tracer un carré de côté racine de Pi est impossible du fait de la transcendance du nombre.

Pour tout autre polygone régulier que le carré, on doit assez logiquement être confronté au même problème, à savoir tracer un segment multiple de Pi.

Mais j'aimerais en être sûr !😉

Démonstration ( pas trop trappue SVP) bienvenue.

Par avance merci de vos lumières.🌞

Hadès 55
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[invite23cdddab]

Démonstration par l'absurde :

Un polygone régulier à n coté, c'est n triangles isocèles de hauteur h et de base b (le découper façon "pizza"). L'aire du polygone régulier est donc n*h*b/2.

Si c'était égal à pi, ça voudrait dire qu'à partir de ce polygone, on peut facilement tracer un rectangle de surface 2pi/n, et on sait construire un carré de même surface qu'un rectangle donné. On pourrait donc réaliser la quadrature du cerlce

Ceci étant dit, il y a déjà de nombreux polygones réguliers non constructibles

[Hades55]

Merci pour cette réponse, et désolé pour la mienne très tardive...

Certes le rectangle recherché a bien pour surface 2pi/n. Mais comment le tracer à la règle non graduée et au compas?

[jacknicklaus]

???
Mais justement, on ne peut pas. La démo de Tryss2 est une démonstration pas l'absurde qui prouve l'impossibilité de le faire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

On ne peut pas "tracer à la règle et au compas" (*), à partir d'un segment de longueur 1, des segments de longueur k.pi où k est un nombre rationnel, voire même . C'est une conséquence de la transcendance de pi. Donc la question "comment le tracer à la règle non graduée et au compas?" ne se pose pas.

Par contre, ses segments de longueur très proches de pi, on peut les faire, par exemple en traçant un segment de longueur 22 et en le divisant par 7. Ces constructions se faisant "à la règle et au compas".

Cordialement.

(*) Il s'agit bien sûr de tracés théoriques, les tracés concrets sont tous imprécis.

[Hades55]

Oui! J'avais bien compris que la quadrature du cercle était impossible !

[Hades55]

Oui. Merci pour cette mise au point. J'avais bien compris qu'il était impossible de tracer à la règle non graduée et au compas un multiple de pi.