Problème de minimisation

[inviteed6e83cd]

Bonjour!
Je me pose quelques question sur un exercice d'optimisation.

Premièrement je devais montrer que le problème admet une solution.

J'ai donc dis que en prenant le projeté orthogonal de B sur l'espace vectoriel des Ax on allait minimiser la distance, j'ai dis sur quel ensemble et donner la valeur du minimum, cependant je ne suis pas sûr de ma justification à la question "donner une condition nécessaire et suffisante pour que ce minimum soit unique".
J'ai trouvé dans mon cours que si l'espace sur lequel on projette est un convexe fermé non vide alors il y a unicité du projeté orthogonal de B, est-ce bon?

Ensuite on considère N points dans et on demande d'écrire le problème de minimisation permettant de trouver "la" droite affine qui minimise l'erreur quadratique, puis de montrer que si tels que alors cette droite est unique.

Je ne suis pas sûr d'avoir poser le bon problème, j'ai du chercher moi même ce qu'était cette "erreur quadratique", j'ai posé cela: .

Ai-je posé le bon problème?

Voilà j'aimerais bien avoir votre avis et/ou corrections sur ces 2problèmes, merci d'avance!

Bonne journée.
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[inviteed6e83cd]

Petite précision, on considère N points dans R^2 pas dans R pour le deuxième problème!
Merci d'avance pour votre aide!

[inviteed6e83cd]

Bonjour bonjour, je me permet de relancer un peu car je suis toujours dans l'incertitude et mes recherches perso n'ont pas donné grand chose!
PS: A est une matrice mais cela semblait évident je pense!
Bonne journée

[gg0]

Bonjour.

Le deuxième problème est une application du premier qui minimisait l'erreur quadratique (quadratique ça parle de carré).

Cordialement i

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteed6e83cd]

Bonjour,
Merci de votre réponse, mais je ne comprends pas bien le fond du problème: on a un nuage de points dans R2, et on doit trouver la droite affine qui passe par le plus de points possible ou s'en rapproche le plus? C'est cela que je n'arrive pas bien à comprendre,
Merci et bonne journée

[gg0]

L'erreur quadratique est ce que tu utilisais dans ton "premièrement". Et on veut la minimiser. C'est cela qui traduira "la meilleure droite" ou "la droite qui s'en rapproche le plus" (il y a une infinité de façon de traduire cette expression, on en a choisi une). Quant à "la droite affine qui passe par le plus de points possible" ça n'a généralement pas de sens car il est rare qu'on ait trois points alignés et il y a plein de droites passant par deux points, las une seule ("la droite").

Donc oui, tu dois trouver une droite qui minimise l'erreur quadratique. La somme des carrés des erreurs quand on remplace (x_i,y_i) par (x_i, ax_i+b).

Bon travail !