Esperance de la racine d'une loi exponentielle de paramètre 1

inviteed6e83cd · 25/12/2020, 11h52

Bonjour,
Ma question est vraiment bête, mais je ne parvient pas à trouver de réponse justifié et ce depuis plusieurs jours et malgré de nombreuse recherche.

On donne X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre 1, et on cherche $\mathbb{E}[\sqrt{X}]$ .

Dans un énoncé il m'est indiqué que cette espérance vaut $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ , donc je sais vers quoi je dois aller mais je tourne vraiment en rond:

J'ai essayé de calculer : $\mathbb{E}[\sqrt{X}]=\int_{0}^{\infty}\sqrt{x}e^{-x}dx$ mais je tourne en rond dès que je fais une intégration par partie ... c'est une mauvaise piste je pense.

J'ai essayé de faire un changement de variable et de calculer : $\int_{0}^{\infty}ue^{-u^{2}}du$ mais là pareil je bloque...

J'ai refais un changement de variable qui me fait arriver à $-\frac{1}{2}$ mais là je suis sûr que c'est faux du coup car c'est négatif...

Enfin dernière piste j'ai tenté de manipuler une loi normale centrée réduite, dont la densité vaut 1, de passer la racine de 2pi de l'autre coté de sorte que $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^{2}}{2}}=\sqrt{2\pi}$ en coupant l'intégrale en 2 on arrive à $\int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{x^{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2\pi}}{2}$ mais en fait je pense que cette piste est là plus inutile de toute...

Voilà, si quelqu'un pouvait au moins me dire dans quelle direction aller parce que je ne m'en sors plus, j'arrive plutôt bien à calculer l'esperance d'une fonction de X pour beaucoup de fonction, mais la racine je dois dire que je bloque totalement.

Merci beaucoup et bonne journée,

**gg0** · 25/12/2020, 13h38

Bonjour.

$\int_{0}^{\infty}ue^{-u^{2}}du$ se calcule sans problème (à une constante multiplicative près, la fonction à intégrer est une dérivée), mais ça ne sert à rien ici : Le changement de variable $t=\sqrt x$ donne
$\int_0^{+\infty} \sqrt x\ e^{-x}\ dx = \int_0^{+\infty} t e^{-t^2} \times 2 t \ dt =2\int_0^{+\infty} t^2 e^{-t^2}\ dt$
Cette intégrale se ramène, par parties (*), à
$\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\ dt$
qui ne se calcule pas par les méthodes élémentaires, mais est un nombre connu :
$\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\ dt = \frac{\sqrt{\pi}}2$

Cordialement.

(*) poser U=t, V'=t exp(-t²).

inviteed6e83cd · 25/12/2020, 15h29

Merci beaucoup! J'ai juste mal effectué mon intégration par partie, ce qui m'a fait perdre beaucoup de temps pour rien, ça m'apprendra et celui ci je m'en souviendrai en tout cas!
Bonne journée,

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