Racine d'une équation avec exponentielle et racine carré

[invitec5bef395]

Bonjour,

Je viens d'entrer en troisième année d'un cycle d'ingénieur en informatique et voilà que le premier contrôle de maths approche !
J'ai devant moi des annales et je n'arrive pas à résoudre la première question du premier exercice du premier annale. C'est mal parti...

ça n'a pas l'air compliqué mais il me manque l'intuition mathématique je pense.

J'ai une équation :
exp(x)+3*sqrt(x)-2 = 0

La question :
Montrer que l'équation admet une unique racine dans l'intervalle [0 , 4/9]

Pour l'instant ma seule piste est un développement limité, mais je me trompe surement...
Quelques idées ?

Merci d'avance !
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[invited3a27037]

bonjour

Un développement limité donne une information sur le comportement d'une fonction en un point. Je ne vois pas à quoi ça pourrait servir ici.

As-tu étudié les variations de cette fonction, croissante ? décroissante ? et les valeurs prises en 0 et en 4/9 ?

[invitec5bef395]

Merci pour ta réponse !

Enfaîte je ne sais pas quelle méthode utiliser...
Je sais quelle est croissante mais rien de spécial pour l'intervalle à part quelle est défini sur [0, +inf]

[invited3a27037]

et les valeurs prises en 0 et en 4/9 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Ta fonction f(x) = exp(x)+3*sqrt(x)-2 étant continue, on pourra penser à chercher à appliquer le théorème des valeurs intermédiaires... et ensuite, pour prouver l'unicité, on pourra regarder si, par hasard, f ne serrait pas strictement monotone.

[invitec5bef395]

De -1 à 1,5 à peut près.

Par contre en quoi cela m'aiderai de savoir ça ?

[invitec5bef395]

Aaaaah oui comme je vois qu'elle est strictement croissante, continue, et quelle va de -1 à 1,5 elle passe forcement par 0, j'ai donc une unique racine !

Mais tout ça je le vois sur un graphique je ne l'ai pas démontré :/

[invitec5bef395]

J'ai trouvé !

Je trouve que f(0) = -1 et f(1/9) = 0,117, donc f est bien passée par 0. Elle est continue et monotone puisque sa dérivé est positive.
Et comme [0, 1/9] C [0, 4/9], mon équation n'admet qu'une seul racine.

Merci beaucoup !

[PlaneteF]

Bonsoir,

Je trouve que f(0) = -1 et f(1/9) = 0,117, donc f est bien passée par 0. Elle est continue et monotone puisque sa dérivé est positive.
Et comme [0, 1/9] C [0, 4/9], mon équation n'admet qu'une seul racine.

Je trouve que ta rédaction manque de précision (surtout sur un forum du supérieur). Il faut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, en le citant et en vérifiant que ses conditions d'application sont bien remplies, puis au final en énonçant la conclusion que l'on peut en tirer. Ensuite la monotonie seule ne suffit pas à prouver l'unicité de la solution, la stricte monotonie oui.

Cordialement

[invitec5bef395]

Bonsoir, merci pour ta réponse.

Est-ce que le théorème des valeurs intermédiaires est bien le suivant ?
"Pour toute application continue f : [a, b] → ℝ et tout réel u compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = u."

La dérivé est strictement positive, cela ne suffit pas pour prouver la strict monotonie ?

Pardon pour ma rédaction j'avoue que j'ai rétrécie mais sur papier j'ai bien sur plus de rédaction.

[PlaneteF]

Tout d'abord je n'ai pas saisi pourquoi tu raisonnes avec et non pas directement avec

Sinon ici tu peux appliquer en fait un cas particulier du T.V.I. qui s'appelle le théorème de Bolzano --> https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...3.89nonc.C3.A9

Cordialement

[invitec5bef395]

Oui pardon c'était juste pour réduire l'intervalle ça n'a aucun intérêt même pas sur ma feuille, je vais l'enlever.

Oui j'ai vu ce théorème aussi je l'ai utilisé.

Merci encore pour tes réponses

Cordialement