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Racine d'une équation avec exponentielle et racine carré




  1. #1
    livekontesk

    Racine d'une équation avec exponentielle et racine carré

    Bonjour,

    Je viens d'entrer en troisième année d'un cycle d'ingénieur en informatique et voilà que le premier contrôle de maths approche !
    J'ai devant moi des annales et je n'arrive pas à résoudre la première question du premier exercice du premier annale. C'est mal parti...

    ça n'a pas l'air compliqué mais il me manque l'intuition mathématique je pense.

    J'ai une équation :
    exp(x)+3*sqrt(x)-2 = 0

    La question :
    Montrer que l'équation admet une unique racine dans l'intervalle [0 , 4/9]

    Pour l'instant ma seule piste est un développement limité, mais je me trompe surement...
    Quelques idées ?

    Merci d'avance !

    -----


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  3. #2
    joel_5632

    Re : Racine d'une équation avec exponentielle et racine carré

    bonjour

    Un développement limité donne une information sur le comportement d'une fonction en un point. Je ne vois pas à quoi ça pourrait servir ici.

    As-tu étudié les variations de cette fonction, croissante ? décroissante ? et les valeurs prises en 0 et en 4/9 ?

  4. #3
    livekontesk

    Re : Racine d'une équation avec exponentielle et racine carré

    Merci pour ta réponse !

    Enfaîte je ne sais pas quelle méthode utiliser...
    Je sais quelle est croissante mais rien de spécial pour l'intervalle à part quelle est défini sur [0, +inf]


  5. #4
    joel_5632

    Re : Racine d'une équation avec exponentielle et racine carré

    et les valeurs prises en 0 et en 4/9 ?

  6. #5
    Tryss2

    Re : Racine d'une équation avec exponentielle et racine carré

    Ta fonction f(x) = exp(x)+3*sqrt(x)-2 étant continue, on pourra penser à chercher à appliquer le théorème des valeurs intermédiaires... et ensuite, pour prouver l'unicité, on pourra regarder si, par hasard, f ne serrait pas strictement monotone.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    livekontesk

    Re : Racine d'une équation avec exponentielle et racine carré

    De -1 à 1,5 à peut près.

    Par contre en quoi cela m'aiderai de savoir ça ?

  9. #7
    livekontesk

    Re : Racine d'une équation avec exponentielle et racine carré

    Aaaaah oui comme je vois qu'elle est strictement croissante, continue, et quelle va de -1 à 1,5 elle passe forcement par 0, j'ai donc une unique racine !

    Mais tout ça je le vois sur un graphique je ne l'ai pas démontré :/

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  11. #8
    livekontesk

    Re : Racine d'une équation avec exponentielle et racine carré

    J'ai trouvé !

    Je trouve que f(0) = -1 et f(1/9) = 0,117, donc f est bien passée par 0. Elle est continue et monotone puisque sa dérivé est positive.
    Et comme [0, 1/9] C [0, 4/9], mon équation n'admet qu'une seul racine.

    Merci beaucoup !

  12. #9
    PlaneteF

    Re : Racine d'une équation avec exponentielle et racine carré

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par livekontesk Voir le message
    Je trouve que f(0) = -1 et f(1/9) = 0,117, donc f est bien passée par 0. Elle est continue et monotone puisque sa dérivé est positive.
    Et comme [0, 1/9] C [0, 4/9], mon équation n'admet qu'une seul racine.
    Je trouve que ta rédaction manque de précision (surtout sur un forum du supérieur). Il faut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, en le citant et en vérifiant que ses conditions d'application sont bien remplies, puis au final en énonçant la conclusion que l'on peut en tirer. Ensuite la monotonie seule ne suffit pas à prouver l'unicité de la solution, la stricte monotonie oui.

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 28/10/2015 à 15h35.

  13. #10
    livekontesk

    Re : Racine d'une équation avec exponentielle et racine carré

    Bonsoir, merci pour ta réponse.

    Est-ce que le théorème des valeurs intermédiaires est bien le suivant ?
    "Pour toute application continue f : [a, b] → ℝ et tout réel u compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = u."

    La dérivé est strictement positive, cela ne suffit pas pour prouver la strict monotonie ?

    Pardon pour ma rédaction j'avoue que j'ai rétrécie mais sur papier j'ai bien sur plus de rédaction.

  14. #11
    PlaneteF

    Re : Racine d'une équation avec exponentielle et racine carré

    Tout d'abord je n'ai pas saisi pourquoi tu raisonnes avec et non pas directement avec

    Sinon ici tu peux appliquer en fait un cas particulier du T.V.I. qui s'appelle le théorème de Bolzano --> https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...3.89nonc.C3.A9

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 28/10/2015 à 18h16.

  15. #12
    livekontesk

    Re : Racine d'une équation avec exponentielle et racine carré

    Oui pardon c'était juste pour réduire l'intervalle ça n'a aucun intérêt même pas sur ma feuille, je vais l'enlever.

    Oui j'ai vu ce théorème aussi je l'ai utilisé.

    Merci encore pour tes réponses

    Cordialement

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