Dérivée arctan et variante.

[martoufleouf]

Bonsoir à tous j'espère que vous allez bien,
Pour ma part j'ai un petit exercice de TD que j'ai bien marre de chercher à la longue et j'aurai besoin de vos éclairages. Il m'est demandé de calculer la primitive de 1/(x²+a²) ce que j'ai réussi à faire et qui est 1/a*arctan(x/a) grâce à la méthode archaique de mon prof de sup qui nous dit dit que si l'on me demandait pourquoi qu'il fallait que je réponde parceque regardez si l'on dérive arctan(u)=u'/1+u ect ... Même si je doute que cela soit une démonstration à part entière en outre pouvez vous me dire si cela suffit comme argument ? Le véritable problème vient de la primitive de 1/(x²-a²) étant donné que je déteste les variantes d'exercice et bien je sèche malgrè que j'ai tout essayé changement de variable, IPP mais il y a rien qui vient et si cela se trouve c'est simple comme bonjour ...
Merci de prendre de votre temps pour moi
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[joel_5632]

bonjour

oui c'est simple, décompose en éléments simples

1/(x²-a²) = 1/(x-a)(x+a) = A/(x-a) +B/(x+a)

[martoufleouf]

rrhoo oui que je suis bête Merci

[PlaneteF]

Bonsoir,

1/(x²-a²) = 1/[(x-a)(x+a)] = A/(x-a) +B/(x+a)

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[martoufleouf]

Et sur la question de 1/x²+a² ? puis je le justifier ainsi ?

[PlaneteF]

Et sur la question de 1/(x²+a²) ? puis je le justifier ainsi ?

Idem

Cdt

[martoufleouf]

Merci planete vous me sauvez la mise, maintenant je reviens sur mes questions d'abord, certe je peux décomposer ma fraction par un grand A et par un grand B mais cela me donne-t-il les primitives, faut-il que j'explicite A et B ? ... je suis désolé je ne vois pas la ou vous voulez en venir, je ne sais même pas si je doit mettre tout cela sous forme d'une intégrale pouvez vous d'avantage m'éclairer même si cela vous semble trivial ? un grand merci

[gg0]

Bonjour.

Pour 1/(x²-a²), si tu ne fais pas le travail, il reste à faire.

Pour 1/(x²+a²), le fait que tu aies une fonction g dont la dérivée est f étant la définition de "g est une primitive de f", montrer qu'une dérivée est ce qu'on attendait règle la question de la preuve. Reste la question : comment aurais-je pu y arriver par les méthodes d'intégration ?
Alors 1/(x²+a²) fait penser à 1/(x²+1) qui est une dérivée connue. D'où l'idée d'un changement de variable qui convienne. Pour que le a² laisse la place à un 1, il faut le factoriser, donc l'avoir aussi là où est le x². D'où l'idée de poser x=at. et le changement de variable donne le résultat.

Cordialement.

[martoufleouf]

C'est très clair GG0, je chercherai plus en détail avec le signe - en tout cas merci à tous de votre patience et de votre bienveillance