Existe-t-il des fonctions périodiques non trigonométriques ?

[andretou]

Bonjour à tous
Je souhaiterais savoir si toute fonction périodique est nécessairement trigonométrique.
Avez-vous éventuellement un exemple de fonction périodique autre que trigonométrique ?
Merci d'avance pour vos réponses
-----

[gg0]

Oui, bien sûr !

Les fonction "signal carré" et "signal triangulaire" sont très utilisées par les électriciens. Plus mathématiques :
* x--> x-E(x) où E est la partie entière de x. période 1.
* La fonction caractéristique de Z. Période 1
* La fonction caractéristique de Q. Tout rationnel est une période. Pas de "plus petite période".

[andretou]

Je te remercie

[Merlin95]

Ou la fonction x->sin(x)+sin(2x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[jiherve]

bonsoir
de nombreuses fonctions périodiques sont décomposables en série de Fourier (donc trigo)ce qui est le cas du carré et du triangle chers aux électroniciens.
et amha encore plus x->sin(x)+sin(2x)!
JR

[Médiat]

Bonsoir,

Ou encore (par exemple) une fonction qui vaut n'importe quoi sur [0, 1[ et la même chose sur tous les intervalles de la forme [n, n+1[

[andretou]

Merci à tous pour vos réponses.
Parmi celles-ci, y a-t-il des fonctions continues et dérivables ?
Sinon, question complémentaire, existe-t-il des fonctions périodiques, continues et dérivables autres que trigonométriques ?

[Médiat]

Il suffit de regarder ma réponse, et d'adapter le "n'importe quoi" à ses besoins

[andretou]

Il suffit de regarder ma réponse, et d'adapter le "n'importe quoi" à ses besoins

Il faudrait donc que la période corresponde à un intervalle ; auriez-vous éventuellement un exemple d'une telle fonction périodique, continue et dérivable sur R ?

[pm42]

Il faudrait donc que la période corresponde à un intervalle ; auriez-vous éventuellement un exemple d'une telle fonction périodique, continue et dérivable sur R ?

frac(abs(x))^3*(1-frac(abs(x)))^3

frac étant la partie fractionnaire, abs la valeur absolue.

Voir https://www.wolframalpha.com/input/?...x%29%29%29%5E3

C'est une application du principe énoncé par Mediat plus haut : on trace n'importe quoi sur [0, 1[ de façon à ce que la valeur et la pente en 0 et 1 soient les mêmes puis on duplique.

[andretou]

Magnifique ! Encore merci !

[Médiat]

Salut pm42

frac(abs(x))^3*(1-frac(abs(x)))^3

J'avais frac(abs(x))^2*(1 - frac(abs(x)))^2, qui lui ressemble beaucoup, nous étions partis de la même idée, il me semble

[pm42]

nous étions partis de la même idée, il me semble

Etonnant en effet

[azizovsky]

Fabrication de fonctions périodiques

Dans son petit livre sur les foncions elliptiques dont cette introduction est inspirée, André Weil reprend les travaux de Gotthold Eisenstein, fait semblant d'ignorer les fonctions trigonométriques, et les retrouve avec des méthodes élémentaires ingénieuses à partir des séries ci-dessus.

[andretou]

Fabrication de fonctions périodiques

Très intéressant ! merci Azizovsky !

[Tolkirum]

Bonjour, je me permets d'ajouter une remarque par rapport aux autres réponses : toute fonction périodique est décomposable en série de Fourier. Autrement dit, toute fonction s(t) périodique de période T, en notant sa pulsation w = 2ϖ/T peut s'écrire sous la forme :

[Tolkirum]

ERRATUM : il manque un n dans la formule que j'ai donnée
xxx les images doivent être postées comme pièces jointes xxx

[pm42]

toute fonction périodique est décomposable en série de Fourier.

Je veux bien la décomposition de la fonction caractéristique de Q citée par gg0 dans la 1ère réponse, cela doit être sympa à construire non ?

[danyvio]

Une fonction périodique toute simple :

f(x)= modulo(x;4)

[Médiat]

Je veux bien la décomposition de la fonction caractéristique de Q citée par gg0 dans la 1ère réponse, cela doit être sympa à construire non ?

Et on peut ajouter qu'il ne faut pas oublier que pour chaque réel, il faut faire une infinité de calculs, dénombrable, certes mais pas très pratique , et dans le cas que tu cites, le calcul de la période est sympa aussi .

[pm42]

f(x)= modulo(x;4)

Je ne connais pas la définition de modulo sur les réels. Tu peux la donner ? Est elle continue et dérivable puisque c'était le sujet depuis le message #9?

[danyvio]

Je ne connais pas la définition de modulo sur les réels. Tu peux la donner ? Est elle continue et dérivable puisque c'était le sujet depuis le message #9?

J'avoue je n'ai pas précisé dans l'ensemble Z.

[pm42]

J'avoue je n'ai pas précisé dans l'ensemble Z.

Ok. Vu qu'on parlait de continu, dérivable et non trigonométrique, je n'ai pas envisagé qu'on parle de Z.

[Médiat]

Ok. Vu qu'on parlait de continu, dérivable et non trigonométrique, je n'ai pas envisagé qu'on parle de Z.

Dommage, parce que des fonctions continues dans Z (avec la topologie usuelle) j'en connais des tonnes

[albanxiii]

Dommage, parce que des fonctions continues dans Z (avec la topologie usuelle) j'en connais des tonnes

Pour une fois, je peux dire "moi aussi" à un message de Médiat !

[pm42]

Dommage, parce que des fonctions continues dans Z (avec la topologie usuelle) j'en connais des tonnes

Je les veux bien dérivables

[andretou]

frac(abs(x))^3*(1-frac(abs(x)))^3

frac étant la partie fractionnaire, abs la valeur absolue.

Voir https://www.wolframalpha.com/input/?...x%29%29%29%5E3

Bien que la courbe de cette fonction telle que tracée par Wolfram Alpha apparaisse dérivable sur R, il semblerait qu'elle ne le soit pas pour toutes les valeurs de x entières (ce qui est indiqué plus bas). Et du coup elle ne serait pas dérivable sur R...
Pouvez-vous svp confirmer si cette fonction est bien dérivable sur R ?
Sinon auriez-vous éventuellement une autre solution ?

[pm42]

Pouvez-vous svp confirmer si cette fonction est bien dérivable sur R ?

Elle est dérivable sur R, elle a été construite pour et cela a même été expliqué plus haut. En chaque point de raccordement, par exemple en 1, la dérivée à gauche vaut 0 et la dérivée à droite 0 aussi => on donc une dérivée bien définie.
En tous les autres points, c'est un polynome donc elle est dérivable.

Au demeurant, la dérivabilité se voit aussi assez bien sur la courbe.

[andretou]

Je suis d'accord, elle est dérivable pour tout x entier. Mais pourquoi Wolfram Alpha indique-t-il que la dérivée est "indeterminate" pour tout entier ?

[pm42]

Mais pourquoi Wolfram Alpha indique-t-il que la dérivée est "indeterminate" pour tout entier ?

Parce que les ordinateurs sont pour le moment moins bon en maths que les humains. Et qu'il a dérivé formellement, appliqué sa règle sur la partie fractionnaire qui n'est pas continue ni dérivable sur les entiers mais l'est partout ailleurs et n'a pas été plus loin.