Idées démonstration?

[math47]

Bonsoir,

J'ai une démonstration à faire mais je ne vois pas quoi faire des idées que j'ai eues... Sont-elles au moins correctes ?

Voici l'énoncé :
Soient f une fonction continue sur un intervalle ouvert I et x0 ∈ I. On suppose que f est dérivable sur I \ {x0} et que sa dérivée f' admet des limites à gauche et à droite en x0 qui sont égales et valent l. En utilisant le théorème des accroissements finis et en revenant à la définition de la dérivabilité, montrer que f est dérivable en x0 et que f'(x0) = l.

J'ai pensé montrer qu'elle est dérivable en montrant que le taux d'accroissement en x0 admet une limite finie. Après avoir montré qu'elle est dérivable j'ai pensé appliquer le théorème des accroissements finis sur I = ]a,b[ cela implique ((f(b) - f(a))/b-a) = f'(x0) et ensuite utiliser ce qu'on aura montré avant : ((f(b) - f(a))/b-a) = l et finalement trouver l = f'(x0).

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance et bonne soirée!
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[gg0]

Bonjour.

"J'ai pensé montrer qu'elle est dérivable en montrant que le taux d'accroissement en x₀ admet une limite finie." Oui, mais comment ? Et cette limite finie est déjà par définition f'(x0).
Traditionnellement, on utilise déjà le théorème des accroissements finis pour démontrer la dérivabilité.

Cordialement.

NB : Si on a une idée de démonstration, on l'utilise tout de suite, sans demander aux autres si c'est une bonne idée : On le verra bien à l'usage !! Et quand cette idée est du genre "je vais démontrer ce qu'on me" demande de démontrer" ...

[math47]

Bonsoir, merci de votre réponse. Une question : commet peut-on démontrer la dérivabilité avec ce théorème si pour l'utiliser il faut que la fonction soit dérivable ?

[gg0]

Peux-tu me redire comment s'énonce le théorème des accroissements finis ? Il me semble qu'il n'y a pas de contrainte de dérivabilité partout.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[math47]

f doit être dérivable sur ]a,b[ donc on peut l'utiliser parce que a et b ne sont pas inclus dans l'intervalle c'est bien ça?

[gg0]

Surtout, le fait que f est continue en x₀ va te permettre de travailler avec x0, même sans savoir que f y est dérivable.

A toi de faire ...

[math47]

"Traditionnellement, on utilise déjà le théorème des accroissements finis pour démontrer la dérivabilité." Pourriez-vous me conseiller des ouvrages ou quoi que ce soit d'autre qui l'utilise de cette manière s'il-vous plaît ? Tout ce que nous avons fait en cours avec le TAF c'est l'utiliser pour montrer des approximations...

[gg0]

Autrement dit tu me demande de faire ton exercice à ta place !!

A toi de t'y mettre. Tu as dit "montrer qu'elle est dérivable en montrant que le taux d'accroissement en x0 admet une limite finie." Eh bien ... vas-y ! Commence à rédiger, et tu verras qu'il y a possibilité d'utiliser le TAF, et même que ça donne bien la preuve voulue. Mais n'attends pas des autres ce que tu peux faire toi-même. Ou attends le corrigé de ton prof ...