une note de bas de page au sujet d'une mesure positive finie

[invitef02bfd0b]

Bonjour
Il s'agit du livre de Monsieur KHOAN VO KHAC intitulé Mesure Intégration Convolution et Analyse de Fourier
Plus précisément Chapitre B Paragraphe III variation d'une mesure complexe ou signée.
Une note de bas de page à la page 27:
Soit (z_j , j appartenant à J) une famille finie de nombres complexes et k un nombre réel tels que Somme (|z_j|,j appartenant à J) >=4 k.
alors il existe I inclus dans J tel que |Somme(z_i , i appartenant à I)|>= k.

Quelqu'un sait-il démontrer la véracité de cette note de bas de page?
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[Resartus]

Bonjour,
Il suffit de classer tous les nombres x +iy selon les 4 quadrants : x>0, y>0;x>0, Y<0,etc.
Avec l'inégalité triangulaire, la norme de la somme dans chaque quadrant est supérieure à la somme des normes de ce quadrant.*
Donc au moins l'une de ces sommes doit être supérieure à k...


*racine(x^2+y^2)<=|x|+|y|

[invitef02bfd0b]

Merci pour votre prompte réponse.

En fait il y a une coquille dans la note de bas de page; si j'ai bien compris, il faut lire:
Soit (zj , j appartenant à J) une famille finie de nombres complexes et k un nombre réel tels que Somme (|zj|,j appartenant à J) <=4 k.
alors il existe I inclus dans J tel que |Somme(zi , i appartenant à I)|>= k.

[gg0]

Tu veux dire que les j sont des multiplicateurs, pas des indices ?? Bizarre, on écrirait plutôt jz que zj . Et avec les indices, ça marche bien.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef02bfd0b]

Veuillez m'excuser pour la typographie;
il faut lire:
Soit (z_j , j appartenant à J) une famille finie de nombres complexes et k un nombre réel tels que Somme (|z_j|,j appartenant à J) <=4 k.
alors il existe I inclus dans J tel que |Somme(z_i , i appartenant à I)|>= k

[invitef02bfd0b]

il y a en fait deux coquilles dans la note de bas de page:

Veuillez m'excuser pour la typographie;
il faut lire:
Soit (z_j , j appartenant à J) une famille finie de nombres complexes et k un nombre réel tels que Somme (|z_j|,j appartenant à J) <=4 k.
alors il existe I inclus dans J tel que |Somme(z_i , i appartenant à I)| <= k

[Resartus]

Bonjour,

Qu'est-ce qui peut vous faire penser qu'il y avait des coquilles? La rédaction initiale était tout à fait valide, et j'ai indiqué comment on la démontre.

En tout cas, avec vos "corrections", cela n'a plus aucun sens. Avec votre première modification, c'est faux, et avec la seconde, c'est trivial et n'apporte rien, car il suffit de prendre pour I l'ensemble vide

[invitef02bfd0b]

Pour sauver l'enoncé de la note de bas de page je propose l'énoncé suivant:
Soit (z_j , j appartenant à J) une famille finie de nombres complexes et k un nombre réel tels que Somme (|z_j|,j appartenant à J) <=4 k.
alors il existe I non vide inclus dans J tel que |Somme(z_i , i appartenant à I)|<= k.

[gg0]

Prenons . Ton énoncé ne s'applique pas à ce cas, donc il est faux.
Pourquoi vouloir à tout prix remplacer un énoncé correct par autre chose ?

[invitef02bfd0b]

Merci gg0 pour votre contre-exemple qui montre que mon énoncé est erroné
Je dois signaler que la "démonstration" de Monsieur Resartus comporte néanmoins une imperfection non négligeable: l'inégalité triangulaire permet d'affirmer que la norme de la somme est inférieure à la somme des normes et non pas l'inverse

[gg0]

Je le laisse répondre ...

[invitef02bfd0b]

Pour rétablir la validité de l'énoncé suivant,

Pour sauver l'enoncé de la note de bas de page je propose l'énoncé suivant:
Soit (z_j , j appartenant à J) une famille finie de nombres complexes et k un nombre réel tels que Somme (|z_j|,j appartenant à J) <=4 k.
alors il existe I non vide inclus dans J tel que |Somme(z_i , i appartenant à I)|<= k.

il me semble qu'il faut ajouter l'hypotèse suivante:
chaque quadrant rencontre {z_k , k appartenant à J}

[invitef02bfd0b]

je pense avoir trouvé un contre-exemple qui infirme la note de bas de page:
J={1,2} z₁=5 et z₂=2+5i, k=9

[gg0]

4k=36
La condition sur k n'est pas vérifiée.

[invitef02bfd0b]

effectivement...
Avez-vous trouvé que la "démonstration" de Monsieur Resartus est valide?

[Resartus]

Bonjour,
Vous avez raison, mon raisonnement initial qui consistait à séparer en quatre quadrants ne suffit pas :

Il montre bien que la somme des normes des points de chaque quadrant est plus petite que la somme de la valeur absolue des x et de la valeur absolue des y de la somme de ces points, mais ensuite, cela capote parce qu'il faut utiliser la norme de cette somme, qui est plus petite que la somme des deux valeurs absolues.

Mais le résultat indiqué est bien vrai : j'ai démontré quelques cas particuliers, mais je n'ai pas encore réussi le cas général :

Si les points sont les racines niemes de l'unité (où la somme est nulle, alors que la somme des normes vaut n, ce qui est un cas extrême) on peut toujours trouver une somme de certaines racines qui dépasse n/4. On peut facilement extrapoler ce résultat au cas où les valeurs sont de même norme mais pas forcément équiréparties.

Il faudrait arriver à étendre ce résultat au cas où les racines ne sont pas toutes de même norme, mais je n'ai pas encore trouvé comment. Je continue à chercher...

[Resartus]

Re,
Fin de la démonstration.
En fait, pour le cas des racine kièmes de l'unité, on peut faire mieux que k/4. Le minimum est supérieur à 5k/16 (>0,3183...) Et vrai a fortiori pour des familles de k vecteurs de norme 1 non équipartis sur le cercle. Cela aide pour la suite :
On découpe les nombres de la famille initiale en petites nombres de même norme. Cela ne tombe pas juste, mais en coupant assez petit, on peut toujours faire en sorte que les restes négligés ne dépassent pas k/5.
On a maintenant des nombres tous de même norme dont le somme des normes fait au moins 4k/5 : on peut donc trouver une sous-famille de ces petits morceaux dont la norme de la somme vaut 5/16*(4/5k) soit k/4
Ensuite, ces petits morceaux auront toujours un angle avec la somme totale qui sera inférieur à 90° (sinon leur contribution au total serait négative, et on peut les exclure de la sous-famille).
Donc on peut toujours rajouter à ces morceaux ce qui leur manque pour reconstituer les nombre initiaux dont ils sont issus, ce qui améliore encore le résultat final
On aura bien exhibé à la fin une sous famille des nombres initiaux, dont la norme du total dépasse k/4
Problème résolu!

Mais cette démonstration est bien pataude. Je serais preneur d'une démo plus simple et/ou plus esthétique, si quelqu'un sait faire...