Bonjour,
Soit (A,B) dans M_n(R)², je dois montrer que :
AB = A+B => rg(A)=rg(B)
J'ai remarqué que A et B commutent. D'autre part, j'ai montré que les solutions sont toutes de la forme suivante:
A=I+M et B=I+M^-1, avec M une matrice inversible quelconque. Donc rg(M) = = rg(I) = n
J'ai aussi remarqué que le problème est équivalent à montrer que dim(Ker(A)) = dim(Ker(B))
Tous ceci ne sont que des pistes.
Merci de votre aide,
Bonne soirée,
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