bon,allez, un très facile
définir dans R la fonction (diiférente de la fonction exponentielle) telle que f''(x)=x et f(0)=1
vous avez trouvé? bravo! essayez à present de generaliser ce probléme à toute dérivée n-ième(c'est deja nettement plus dur)
bonne chance (et surtout bon courage)!
Je dirait f(x) = x^n + x^(n-1) + x^(n-2) + ... + 1 C'est ca ?
Pour x=0, x^m = 0 donc somme(x^(n-i), i€N\{n})=0 et f(0)=1
f^n(x)=x
Re : bon,allez, un très facile
FAUX :
Pour x=0, x^m = 0 donc somme(x^(n-i), i€N\[n ; 0])=0 et f(0)=1
Tu veux juste une fonction qui vérifie f(n)(x)=x et f(0)=1 ?
moi je dirais f(x) = xn /(n)! + xn+1 /(n+1)! car :
f(1)(x) = xn-1 /(n-1)! + xn /(n)!
f(2)(x) = xn-2 /(n-2)! + xn-1 /(n-1)!
.
.
.
f(n)(x) = xn-n /(n-n)! + xn-(n-1) /(n-(n-1))!
f(n)(x) = x0 /(0)! + x1 /(1)!
f(n)(x) = 1 + x
je pense que c'est ca...
byebye
Re : bon,allez, un très facile
et doit-elle le vérifier simultanément pour tout n et pour tout x ?Envoyé par Coincoin
ce serait intéressant quand même, mais les fonctions et moi, nous avons un problème de communication, pas de symbiose, surtout quand il s'agit de dériver ou d'intégrer.
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
je ne pense pas car dans ce cas, f(0) = 0. or on veut f(0) = 1
je dirais
f(x) = 1/(n+1)! x^(n+1) + a_n /n! x^n+ a_(n-1)/(n-1)! x^(n-1) +.....+1
où a_n, a_(n-1)... sont des constantes libres
mais c'est faux pour l'exponentielle... f'(x)=f(x) pour elle...
donc, pour n=2, c'est 1/2 x^2 +1
et pour n arbitraire, c'est 1/n! x^n +1
le +1 est juste là pour la condition initiale
Re : bon,allez, un très facile
J'ai honte!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!
j'arrive même pas à poser un problème correctement !!!!!!!!!!!!!!!!!!!
je vais quitter ce forum et me faire hara-kiri
le vrai problème est:
définir dans R f telle que f''(x)=f(x) et f(0)=1
avec f(x) different de la fonction exponentielle
et il faut generaliser avec:
derivée n-ième de f(x)=f(x) et f(0)=1
encore desole
desole
desole
desole
desole...
f = x->Ch(x) ?
ça doit etre ça oui
f(x)=ch(x) ne marche que pour n pair...
Il faut prendre la fonction x->exp(a*x) où a est une racine n-ième de l'unité (ou une combinaison linéaire de ces exponentielles)... mais par contre pour n=1, Cauchy te dit que la seule solution est la fonction exponentielle...
je disais oui pour le cas f''=f
ceci dit le problème est d'un interet relatif dans le sens ou ne veut pas pendre la fonction exponentielle qui vérifie trivialement les hypothèses, et donc on va aller chercher des combinaisons linéaires de cette dernière et s'apercevoir que bizzarement ça marche....
La dérivée de ch est sh...je disais oui pour le cas f''=f
exp(a*x) n'est pas une combinaison linéaire de exp(x) (sauf si a=1 évidemment)...des combinaisons linéaires de cette dernière
C'est vrai que d'imposer f(0)=1 limite l'intérêt du problème... mais il faut voir qu'on peut trouver toutes les solutions (qui sont combinaisons linéiares des exp(a*x), alors que exp n'est qu'une solution particulière.ceci dit le problème est d'un interet relatif
Oups !!! J'avais pas vu que c'était f" et pas f'... Au temps pour moi !!!
bon ben alors ch convient...
nan ch ne marche effectivement que pour les n pairs sinon on tombe sur sh
c'est vrai que les exp(a*x) ne sont pas des combinaisons linéaire de exp je me suis mal exprimer, ce que je voulais dire c'est que malgrès tout on reste à utiliser des exponentiel ^^
Eh!
Moi je disais ch pour n =2 et j'ai modifié le message hier pour n quelconque, mais ca n'a pas été pris en compte...
Je disais que les seules possibilités étaient les combinaisons lineaires de fonctions du type
x->Aexp(jx) avec j racine de X^n=1
Donc en fait un truc du genre
(A_1exp(jx)+A_2exp(j²x)+...+A_ nexp(j^nx)/(A_1+A_2+...+A_n) avec les A_i non tous nuls.
Je pense que je n'ai oublié aucune solution, car l'ensemble des solutions de
Y^(n)=Y est un espace vectoriel de dimension n.
Voilou, et je ne comprend pas pourquoi ca n'a pas posté hier
"on va aller chercher des combinaisons linéaires de cette dernière et s'apercevoir que bizzarement ça marche...."
C'est pas si bizarre, puisque l'ensemble des solutions est (au moins...) un espace vectoriel, si l'exponentielle marche, alors les combinaisons linéaires marchent aussi
oui je disais ça de facon humoristique
Re : bon,allez, un très facile
c'est bien la solution que j'ai,mais moi je l'écris
f(x)=exp(x^(1/n))
car en la dérivant n fois on obtient
dér n-ième de f(x)=(n*1/n)exp(x^(1/n))=exp(n^1/n))= f(x)
ce pour n=2,donne f(x)=exp(-x)
n=3 f(x)=exp(-1/2+irac(3)/2)
ou =exp(-1/2-irac(3)/2)
etc...
mais qu'est-ce que la fonction ch(x)
ch (ou cosh) désigne la fonction "cosinus hyperbolique" définit par: ch(x)=(exp(x)+exp(-x))/2, parfois aussi appelée "chaînette" (car une chaînette prend une forme de ch lorsqu'on la suspend...).
Par contre, il ya quelque chose que je ne comprends pas dans ton calcul précédent : quand on dérive exp(x^(1/n)), on obtient 1/n*x^(1/n-1)*exp(x^(1/n)) et non 1/n*exp(x^(1/n))... Et pourquoi exp(x^(1/2))=exp(-x) ? Je ne dois pas comprendre tes notations...
je confirme que ta réponse est fausse sphinx ^^
Carrément fausse...
Les seules solutions ont été données conjointement par Coincoin et moi même.(sans prétention) et en utilisant le (si fameux) théorème de Cauchy-Lipschitz, on voit que les seules solutions sont du type que j'ai donnée:
(somme des x->a_kexp(u^kx))/somme des a_k pour k variant de 1 à n avec u une racine n-ième de l'unité différente de 1 et les a_k non tous nuls.
Voilou.
Re : bon,allez, un très facile
mais quel c...
exact toutes mes excuses j'aurais du faire gaffe mais j'ai ecrit trop vite
la solution est(mais il est possible que je continue à me tromper)
f(x)=exp((1/n)*x)
et la (ou alors je fais une grave erreur de raisonnement),
en la dérivant n fois on a bien n*(1/n)*exp((1/n)*x)=exp((1/n)*x)
Oui, énorme erreur de raisonnement...
T'as lu ce que je t'ai dit juste au dessus ou quoi?
c'est plus la meme fonction mais elle ne marche quand meme pas
a chaque dérivée tu multiplies par ce qu'il y a des l'exponentielles, au final ça te fait pas n fois mais puissance n.
Re : bon,allez, un très facile
Mais qu'est-ce que je fous là?
avec toutes les erreur que je fais, je comprend pas pourquoi on m'a pas encore viré
quinto,coincoin et tant d'autres avaient raison depuis le début : pourquoi est-ce que je cherche à montrer que j'ai une solution, surtout si je me plante deux fois comme une m...?
au fait merci de m 'avoir signalé mes erreurs, il parait que c'est comme ça qu'on progresse(même si dans mon cas c'est pas tres efficace)
en ésperant ne plus vous décevoir...
Tout le monde en fait, et tu ne décois personne.
En plus c'est courageux de ta part puisque je crois avoir cru comprendre que tu étais au lycée, ou alors je confond?
Enfin ca n'a aucune importance...
Bonne soirée.
